Angelu (geometria)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
45 graduko edo pi laurden radianeko angelu bat.

Geometrian, angelua jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdik, aldeak deiturikoak, osatzen duten irudia da. Angeluen zabalera gradu sexagesimaletan, radianetan edo gradu ehundarretan neurtzen da.

Etimologia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angelu hitza latinezko angulus (euskaraz izkin) hitzetik dator. Grezierazko ankylοs (euskaraz, oker, bihurri) hitzetik eta indoeuroparrezko ank- errotik (euskaraz, okertu, bihurritu) ere eratortzen da.

Adierazpena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

x angelua \angle{ACB} ere adieraz daiteke.

Irudi geometrikoetan, angeluak irudiko hiru punturen bitartez adierazten dira. Adibidez, bitez A, B eta C puntuak; erpina A puntuan duen angelua, zuzenerdiak AB eta AC bidez definiturik, bi era hauetara adieraz daiteke:

\widehat{BAC} \ \ \ \ \ \angle{BAC}

Angeluaren neurria honela adierazten da:

\measuredangle{ABC}

Adierazpen matematikoetan ordea, ohizkoa da angeluak letra grekoen bitartez adieraztea: α, β, γ, θ, ...[1] Letra latindarrak (a,b,c, ...) ere erabiltzen dira.

Angeluen neurketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

θ angeluaren neurria s arkuaren luzeraren eta r erradioaren luzeraren arteko arrazoiak ematen du.
Radian bateko angelua: erradioak eta arkuak luzera berdina dute.

Angelu baten zabalera neurtzeko zuzenerdi batetik bestera biratutako zirkunferentzia-arkutik, zentroa angeluko erpinean izanik, abiatu behar da.

Ondoren, s arkuaren luzera r erradioaz zatitzen da. Emaitza angeluaren neurria izango da radian (rad, labur) izeneko unitatetan. Angelu baterako, arkua marrazteko erradioa aldatzen bada, arkuaren luzera ere proportzioan aldatuko da eta beraz angeluaren neurria konstantea izango da.

Neurri ezberdinetako angeluak, radianetan

Angelua radianetan ez baizik eta beste unitate-sistema batean neurtu nahi bada, s/r\, zatidura k\, berariazko konstante batez biderkatu beharko da.

Sistema hirurogeitarra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sistema hirurogeitar edo sexagesimalean, zirkunferentzia oso bat inguratzen duen angelua 360 gradu sexagesimaleko neurria du (360° idazten da). Horrela, angeluko arkuak zirkunferentzia osoa hartzen duenean angeluaren neurria 2π radianekoa denez, hiruko erregela sinple batez frogatzen da, sistema hirurogeitarrera aldatzeko s/r\, erlazioari biderkatu beharreko konstantea k=\frac{2\pi}{360} dela.

Horrela, adibidez 3\pi/2\, radianeko angeluaren neurria, sistema hirurogeitarrean, (\pi/2)\times(360/2\pi)=90\, gradukoa da [2].

Sistema ehundarra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sistema ehundarrean, angelu zuzenaren neurria 100 gradu ehundarrekoa (100g idazten da) da (sistema sexagesimalean 90° da). Zirkulu osoko angelua 400 gradu (400g) du. Radianak gradu ehundarretara bihurtzeko biderkatu beharreko konstantea k=\frac{2\pi}{400}.

Beste sistemak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Puntua, itsasketan erabiltzen da eta zirkulu osoaren 1/32 hartzen du. Angelu zuzen batek, beraz, 8 puntu ditu.
  • Ordu-angelua, astronomian erabiltzen da eta zirkulu osoaren 1/24 hartzen du. Beraz, 1 ordu = 360/12=15° = π/12 rad.

Eskuzko neurketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

180°ko zabalera duen angelu-garraiagailua, sistema hirurogeitarrean.

Eskuz, angelu-garraiagailua erabiliz neurtzen dira angeluak. Zirkulu edo zirkulu-erdi graduatu batez osaturik, angelu-garraiagailuaren jatorria angeluaren zuzenerdi baten gainean kokatuz, garraiagailuak beste zuzenerdian adierazten duen balioa izango da angeluaren neurria.

Begizko hurbilketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Urrutiko objektuek osatzen duten angeluen neurria besoa luzatuz hurbildu daiteke[3][4]:

  • Hatz txikiaren zabalera betetzen duen objektu baten angelua da 1.5° da gutxi gorabehera.
  • Hatz txikia eta ondoko bi hatzak batera jarriz, hiru hatzak betetzen dituen zabalera duen angeluaren neurria 5° da gutxi gorabehera.
  • Eskua ixten bada, erpurua barrura sartuz, ukabila betetzen duen angeluaren neurria 10° da gutxi gorabehera.
  • Hatz erakuslea eta hatz txikia luzatzen badira, tartekoak bilduz, bien arteko angelua 20° da gutxi gorabehera.

Gainera, eguzkiak eta ilargiak zeruan hartzen duten eremuak osatzen duen angelua 0.5° da gutxi gorabehera.

Angelu motak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Neurriari buruz[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • 90 gradu hirurogeitarreko (π/2 rad edo 100 gradu ehundar) angeluari angelu zuzen deritzo.
  • Angelu zuzena baino neurri txikiagoa duten angeluei angelu zorrotz deritze.
  • 180 gradu hirurogeitarreko (π rad edo 200 gradu ehundar) angeluari angelu lau edo angelu lerrokide deritzo.
  • Angelu zuzenetik angelu laurako bitarteko neurria duten angeluei (90°-180°) angelu kamuts deritze.
  • Angelu osoa zirkulu osoa hartzen duten angelua da (360°, 2π rad edo 400 gradu ehundar).
  • Angelu nulua 0° edo 0 rad neurria duena da.
  • Bi zuzenerdik bi angelu sortzen dute: angelu ganbila (edo sarkorra) eta angelu ahurra (edo irtenkorra). Angelu ganbila 180°tik beherakoa da. Angelu ahurra 180°tik gorakoa da.


Erlazionaturiko angeluak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi angelu beraien artean duten erlazioari buruz, zenbait angelu mota ezartzen da:

  • Angelu auzokideak alde komun bat dutenak dira, beste biek zuzen bat osatzen ez badute.
  • Angelu osagarriak hauen neurrien batura 90° dutenak dira. Angelu baten angelu osagarria biak batera angelu zuzen osatzeko behar den hura da.
  • Angelu betegarriak hauen neurrien batura 180° dutenak dira. Angelu baten angelu betegarria biak batera angelu lau bat osatzeko behar den hura da.
  • Angelu konjugatuak hauen neurrien batura 360° dutenak dira.
  • Angelu kongruenteak (edo isometrikoak) neurri berdina dutenak dira.
  • Erpinez aurkako angeluak angelu bateko zuzenerdiak besteko zuzenerdien luzapenak dira. Erpinez aurkako angeluak kongruenteak dira.

Angelu positiboak eta negatiboak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angelu positibo eta angelu negatibo bat trigonometrian erabiltzen den zirkunferentzia goniometriko batean.

Geometrian, angelu guztiak positiboak dira: beren neurria zuzenerdien arteko arkuaren luzera absolutua da. Trigonometrian ordea, angeluko arkua biratzeko norabidea kontuan hartzen da. Arkua erlojuko orratzen aurkako zentzuan biratzen bada, angeluaren neurria positiboa da. Angeluko arkua erlojuko orratzen berezko zentzuan biratzen bada, angeluaren neurria negatiboa izango da.

Angeluak poligono batean[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Poligono batean, barne angelua ondoz ondoko aldeek barnerantz osaturikoa da. Kanpo angelua, berriz, alde batek eta beste baten kanporako luzapenak osaturikoa da. Poligonoko erpin bateko barne angelua eta kanpo angelua betegarriak dira. Aurkako angeluak alde edo zuzenerdi komunik ez duten haiek dira.

Triangelu batek hiru barne angelu ditu: α, β eta γ. Triangelu batean ez dago aurkako angelurik.
β, β', δ eta δ' poligonoko kanpo angeluak dira. α eta β zein α eta β' angelu betegarriak dira gainera. α eta γ aurkako angeluak dira.

Angeluak zirkunferentzia batean[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angelu zentrala (berdez), angelu inskribatua (urdinez), angelu erdi-inskribatua (gorriz) eta kanpo angelua (marroiz).

Zirkunferentzia batean zenbait angelu mota era daiteke:

  • Angelu zentrala erpina zirkunferentziaren zentroan duen hura da. Angelu zentralaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren berdina da.
  • Angelu inskribatua erpina zirkunferentziako puntu batean izan eta bere zuzenerdiek zirkunferentziako beste bi puntu ebakitzen dituen hura da. Angelu inskribatuaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren erdia da.
  • Angelu erdi-inskribatua erpina zirkunferentziako puntu batean izan, zuzenerdi batek zirkunferentziako puntu bat ebaki eta bestea erpinean bertan zirkunferentziaren tangentea den angelu hura da. Angelu inskribatuaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren erdia da.
  • Barne angelua erpina zirkunferentziak osatzen duen zirkuluaren barnean duen hura da. Barne angeluaren zabalera angeluak berak osatzen duen arkuaren zabaleraren eta erpinez aurkako angeluak osatzen duen arkuaren zabaleraren baturaren erdia da.
  • Kanpo angelua erpina zirkunferentziatik kanpo duen hura da. Bere zabalera zirkunferentzian osatzen dituen bi arkuen zabaleren kendura da.

Txandakako angeluak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Txandakako angeluak[5] planoko bi zuzen beste zuzen batek ebakitzen dituenean sortzen dira. Txandakako angeluak bi motakoak dira: txandakako barne angeluak eta txandakako kanpo angeluak.

Txandakako barne angeluak: zuzenak paraleloak direnean, α eta β angeluak kongruenteak dira.
Txandakako kanpo angeluak: zuzenak paraleloak direnean, α eta β angeluak kongruenteak dira.

Beste angelu batzuk[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Angelu esferikoa esfera baten azaleran bi zirkulu maximok osatzen duten angelua da.
  • Angelu diedroa ertz komun bat duten bi planoerdik osatzen duten bi angeluetatik txikiena da. Ikus Angelu diedro.
  • Eulerren angeluak espazioan puntu baten koordenatuak erreferentzia sistema batetik bestera aldatzeko behar diren angeluak dira.

Erabilera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Arlo anitzetara aplikatzen dira angeluak. Astronomia, itsasketa, optika, aerodinamika, balistika dira arlo horietako batzuk.

Astronomia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Astronomian, angeluak argizagiak zeruan zehatz kokatzeko erabiltzen dira, koordenatu sistema ezberdinetan. Adibidez, azimuta ostertzean argizagiaren proiekzioak iparretik osatzen duen angelua da. Paralaxia behatzaile batek bere kokapena aldatzean argizagiaren kokapena zeruan erakusten duen angelu aldaketa da.

Itsasketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Itsasketan, haize-angelua haizeak belaontziaren norabidearekin osatzen duen angelua da. Norabide-angelua ipar-hego norabidearekin ontziak daraman norabideak osatzen duen angelua da.

Optika[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Optikan, eremu-angelua begiak sistema optiko batean hartzen dituen objektuek hartzen duten angelua da. Errefrakzio-, islatze- eta intzidentzia-angeluak izpiek osatzen dituzten angeluak dira.

Oharrak eta erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. π letra ordea ez da erabili behar, matematikan eta geometrian berariazko esanahia duelako.
  2. Gradu kopurua zenbaki osoa ez denean, zati dezimala 60 balioaz biderkatzen da eta emaitza gradu azpiko minutuak (' ikurrez) dira, minutu kopuruaren zati dezimalarekin berdin egiten da, segundoak (' ' ikurrez) sortzen dira. Adibidez, 12.341 gradu 12 gradu (0.341×60=20.46), 20 minutu (0.46×60=27.6) eta 27.6 segundo dira, hau da 12° 20' 27.6' '.
  3. (Ingelesez) How to estimate angles in the sky, Austin Astronomical Society.
  4. Pertsona bakoitzaren besoa eta eskua nolakoak diren, errore handiak sor daitezke.
  5. Euskaltermek jasotako terminoa.

Bibliografia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • ESPASA entziklopedia: Ángulo. 5. bolumena, 589-596 orrialdeak.
Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Angelu (geometria) Aldatu lotura Wikidatan