Aztarna (aljebra)

Aljebra linealean, matrize karratu baten aztarna bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Hau da,

$\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

non a_ij i-garren errenkadan eta j-garren zutabean dagoen elementua den.

Adibideak

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \mbox{tr}(A) = 3 + 4 + 2 = 9. \,\!$

$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 1 & -7 \end{pmatrix} \Rightarrow \mbox{tr}(B) = 3 + 4 + (-7) = 0. \,\!$

Propietateak

• Aztarna eragile lineal bat da:

$\operatorname{tr}\left( A+B \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)+\operatorname{tr}\left( B \right)$

$\operatorname{tr}\left( rA \right)=r\left( \operatorname{tr}\left( A \right) \right)$

$A \,$ eta $B \,$ matrize karratuak izanik, eta $r \,$ eskalar bat.

• Matrizea iraultzeak ez duenez eraginik sortzen diagonal nagusian,

$\operatorname{tr}\left( A^{T} \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)$

• $A \,$ $n\times m$ dimentsioko matrize bat bada eta $B \,$ $m\times n$ dimentsiokoa, orduan

$\operatorname{tr}\left( AB \right)=\operatorname{tr}\left( BA \right)$

Frogatzeko, aintzat hartu behar dugu $A \,$ eta $B \,$ matrizeen biderkadura honelakoa dela

$[AB]_{ij} = \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{kj}$

hortaz, $AB \,$-ren aztarna honela adieraz dezakegu

$\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{i=1}^n [AB]_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{ki}$

eta batuketaren elkartze-propietatea kontuan hartuz gero

$\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n [A]_{ik}[B]_{ki} = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n [B]_{ki}[A]_{ik} = \sum_{k=1}^m [AB]_{kk} = \operatorname{tr}\left( BA \right)$

Azpimarratu behar dugu $AB \,$ $n\times n$ dimentsioko matrize karratu bat dela, eta $BA \,$, aldiz, $m\times m$ dimentsioko matrize bat.