Aztarna (aljebra)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Aljebra linealean, matrize karratu baten aztarna bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Hau da,

\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}

non aij i-garren errenkadan eta j-garren zutabean dagoen elementua den.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]


A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 5\\
   0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{tr}(A) = 3 + 4 + 2 = 9.
\,\!

B = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 5\\
   0 & 1 & -7
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{tr}(B) = 3 + 4 + (-7) = 0.
\,\!

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\operatorname{tr}\left( A+B \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)+\operatorname{tr}\left( B \right)
\operatorname{tr}\left( rA \right)=r\left( \operatorname{tr}\left( A \right) \right)
 A \, eta  B \, matrize karratuak izanik, eta  r \, eskalar bat.
  • Matrizea iraultzeak ez duenez eraginik sortzen diagonal nagusian,
\operatorname{tr}\left( A^{T} \right)=\operatorname{tr}\left( A \right)
  •  A \, n\times m dimentsioko matrize bat bada eta  B \, m\times n dimentsiokoa, orduan
\operatorname{tr}\left( AB \right)=\operatorname{tr}\left( BA \right)
Frogatzeko, aintzat hartu behar dugu  A \, eta  B \, matrizeen biderkadura honelakoa dela
 [AB]_{ij} = \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{kj}
hortaz,  AB \,-ren aztarna honela adieraz dezakegu
\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{i=1}^n [AB]_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m [A]_{ik}[B]_{ki}
eta batuketaren elkartze-propietatea kontuan hartuz gero
\operatorname{tr}\left( AB \right) = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n  [A]_{ik}[B]_{ki} = \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^n  [B]_{ki}[A]_{ik} = \sum_{k=1}^m [AB]_{kk} = \operatorname{tr}\left( BA \right)
Azpimarratu behar dugu AB \, n\times n dimentsioko matrize karratu bat dela, eta BA \,, aldiz, m\times m dimentsioko matrize bat.