Banakuntza geometriko

Probabilitate teorian eta estatistikan, banakuntza geometrikoa Bernoulliren prozesu batean lehenengo baiezko edo arrakasta suertatu arte suertaturiko ezezko edo porrot kopuruaren probabilitate banakuntza da. Adibidez, banakuntza geometrikoa dado bat behin eta berriz botata lehenengo 6 puntuazioa suertatu arte 6 ez diren puntuazioen kopuruari nahiz pieza segida batean lehenengo akastuna gauzatu arte akasgabeen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzeko erabil daiteke. Geometriko izena ondoz ondoko balioen probabilitateek segida geometriko bati jarraitzen diotelako ematen zaio. Parametro bakarreko probabilitate banakuntza da: p, arrakastaren probabilitate bakuna hain zuzen. Propietate jakingarriak baditu: porrot kopuru jakin gertatu delarik, arrakasta suertatu arteko porrot kopuruaren probabilitate-banakuntza geometrikoa da betiere, Bernoulliren prozesuko independentzia dela tarteko. Beste alde batetik, beste zenbait probabilitate banakuntzekin lotura duen banakuntza: BN(r,p) banakuntza binomial negatiboa r banakuntza geometrikoren batura da; banakuntza geometrikoa binomial negatiboaren kasu berezi bat da, non r=1 den, eta banakuntza esponentziala banakuntza geometrikoaren baliokide jarraitua da. Aplikazioei dagokienean, prozesu binomial baterako erabileraz gainera, banakuntza geometrikoa maiz erabiltzen da maiztasun ziurgabeak modelizatzeko, hala nola testu batean hitz jakin baten maiztasunei nahiz urte batean zehar toki batean izadako ekaitz kopuruari buruzko probabilitateak aztertzeko.

Definizioa

X zorizko aldagai bat banakuntza geometrikoari jarraiki banatzen dela esaten da, labur $X \sim G(p)$,bere probabilitate-funtzioa hau denean:

$P(X = x;p)=\big(1-p\big)^xp\ \ ; \ \ x=0,1,2,\ldots$

Azalpena

Banakuntza geometrikoari jarraiki banatzen den zorizko aldagai batek lehenengo arrakasta (1) izan arteko porrot (0) kopurua adierazten du. Porrot bakoitzaren probabilitatea (1-p) izendatzen Bernoulli prozesuetako notazioaren arabera. Horrela, lehen arrakastaren aurretik gertatzen diren x porroten probabilitatea (1-p)^x da. Lehen arrakastaren aurreko porrot kopurua x izateko azkenik, x+1 aldian arrakasta, p probabilitateaz, gertatu behar da. Beraz, lehenengo arrakasta izan arteko porrot kopurua x izateko probabilitatea (1-p)^xp da.

Adibidea

Bernoulli prozesua	x (arrakastaren aurreko porrot kopurua)	P[X=x] (p=0.8,q=1-p=0.2)
00100...	2	0.820.2=0.128
0000100...	4	0.840.2=0.082
00000111...	5	0.850.2=0.065
0000000...	>7	?

Ezaugarriak eta propietateak

Itxaropen matematikoa

$X \sim G(p)$ probabilitate-banakuntza baten itxaropen-matematikoa hau da:

$\mu=E[X]=\frac{q}{p}=\frac{1-p}{p}$

Frogapena

 Frogapenean segida geometrikoaren formula eta deribatuen batura baturen deribatua dela ezartzen duen teorema erabiltzen dira:

$\begin{align} \mu=E[X] & = \sum_{x=0}^{\infty}x(1-p)^xp\\ & = p(1-p)\sum_{x=0}^{\infty}x(1-p)^{x-1} \\ & = p(1-p)\sum_{x=0}^{\infty}\frac{d(1-p)^{x}}{d(1-p)} \\ & = p(1-p)\frac{d\sum_{x=0}^{\infty}(1-p)^{x}}{d(1-p)} \\ & = p(1-p)\frac{d\big(\frac{1}{1-(1-p)}\big)}{d(1-p)} \ \ \; \ \textstyle{(t=1-p)\ aldagai\ aldaketa\ eginez} \\ & = p(1-p)\frac{d\big(\frac{1}{1-t}\big)}{dt} \\ & = p(1-p)\frac{1}{(1-t)^2} \\ & = p(1-p)\frac{1}{(1-(1-p))^2} \\ & = p(1-p)\frac{1}{p^2}\\ & = \frac{1-p}{p}= \frac{q}{p}\\ \end{align}$

Bariantza

• G(p) banakuntza baten bariantza honakoa da:

$var[X]=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$

Banakuntza geometrikoen batura

• $X_1,\ X_2,\ldots,X_n$ aldagaiek G(p) banakuntza geometrikoari jarraitzen badiote, $X=X_1+X_2+\cdots+X_n$ baturak BN(n,p) banakuntza binomial negatiboari jarraitzen dio.

Bestelako jakingarriak

• Banakuntza geometrikoa kromo biltzailearen ebazkizunean erabiltzen da: biltzaileak k kromo dituelarik n kromoko bilduma batetik, eskuratzen duen hurrengo kromoa errepikatua ez izateko probabilitatea (n-k)/n da. Kromo ez errepikatu bat eskuratu ahal izateko erosi behar duen kromo kopurua G((n-k)/n) banakuntza geometrikoaren arabera banatzen da.
• San Petersburgo paradoxan, irabaziak eskuratu arte jokatu beharreko aldien kopurua G(0.5) banakuntzaren araberakoa da.