Banakuntza hipergeometriko

Probabilitate teorian eta estatistikan, banakuntza hipergeometrikoa N elementuko multzo edo populazio batean, elementu guztiak bai eta ez (emakume/gizon, akastun/akasgabe, ...) motakoak direlarik kontuan hartutako ezaugarria zein den, x elementu zoriz erauzten badira itzulerarik gabe, x elementu laginean dauden bai motako elementu kopuruaren probabilitate banakuntza da. Itzulerarik gabeko laginketa ebazkizunetan erabiltzen da.

Elementuak hartzen diren multzoko osaketa taula honetan azaltzen da, x lagineko baiezkoak izanik banakuntza hipergeometrikoak aztertzen duen kopurua:

	baiezkoak	ezezkoak	guztira
populazioa	m	N-m	N
lagina	x	n-x	n

Banakuntza hipergeometrikoaren probabilitate funtzioa hau da, koefiziente binomialak erabiliz eta Laplaceren erregelan oinarrituz:

$P(X=x;N,m,n) = {{{m \choose x} {{N-m} \choose {n-x}}}\over {N \choose n}}\ ; \ x= \max{(0,\, n+m-N)},\, \ldots,\, \min{(m,\, n )}.$

Labur, X zorizko aldagai batek banakuntza hipergeometrikoari jarraitzen diola, N,m,n parametroak izanik, honela adierazten da:

$X \sim H\big(N,m,n\big)$

Adibidez, 200 unitateko ontzi batean (N=200) 30 unitate akastun (m=30)eta 170 unitate akasgabe (N-m=170) daude. Zoriz 10 unitate aukeratzen dira itzulerarik gabe.

10 unitatetan dauden akastunen kopurua honela banatzen da:

$X \sim H\big(N=200,m=30,n=10\big)$

2 akastun izateko probabilitatea hau da:

$P(X=2;N=200,m=30,n=10) = {{{30 \choose 2} {{170} \choose {8}}}\over {200 \choose 10}}=0.284$

Akastun kopuru posibleak 0tik 10era bitartekoak dira.

Propietateak

H(N,m,n) banakuntza hipergeometriko baten itxaropen matematikoa, batez bestekoa alegia, hau da:

$\mu=E[X]=\frac{nm}{M}.$

Bariantza berriz, hau da:

$\sigma^2=var[X]=\frac{nm}{M}\Big(1-\frac{m}{M}\Big)\Big(\frac{M-n}{M-1}\Big).$