Aldakuntza (konbinatoria)

1-2-3-4-5 elementuak aukeran, 3 elementuko aldakuntza arruntak. 5 zifra horietatik 3 elementuak aukeratu ondoren, ordena posible guztiak zehaztu behar dira, aldakuntza guztien zerrenda osatzeko.

Konbinatorian, aldakuntzak n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko erak dira, aukeratutako elementuen ordena kontuan hartuz. Aukeraketan elementuak ezin badira errepikatu, aldakuntza arruntak sortzen dira; aukeratutako elementuak errepikatzen ahal badira, errepikapenezko aldakuntzak edo errepikatuzko aldakuntzak izango dira. Adibidez, (1,2,3) elementuen binakako aldakuntza arruntak (12,21,13,31,23,32) dira eta (12,21,13,31,23,32,11,22,33) errepikapenezkoak.

Aldakuntzen kopurua

Aldakuntza arruntak

n elementuko multzo batean, k-nakako aldakuntza arrunten kopurua honela kalkulatzen da:

$A^k_n = n (n-1)(n-2) ... (n-k+1)= \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Adibidez, 3 elementuko multzo batetik 2 elementuko aldakuntzak osatzeko era kopurua hau izango da:

$A^2_3 = \dfrac{3!}{(3-2)!}=6$

Konbinatorian ohizkoa den biderkaketa erregela erabiliz, aise ulertzen da formula: aldakuntzaren lehenengo elementua n eratara aukera daiteke, bigarrena (n-1) eratara (elementuak errepika ezin daitezkeenez, lehenengoa baztertuz), ...; eta horrela aldakuntza osatzeko guztizko era kopurua :$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)$ izango da.

Aldakuntza arruntek honako erlazio hau dute koefiziente binomialekin:

${n \choose k} = \dfrac{A^k_n}{k!}$

Izan ere, aldakuntza arruntetan ordena kontuan hartzen denez, ordena kontuan hartzen ez duten koefiziente binomial edo konbinazioen kopurua lortzeko k elementuak ordenatzeko era kopuruaz, k!-z alegia, zatitu behar da.

Errepikapenezko aldakuntzak

n elementuko multzo batean, k-nakako errepikatuzko aldakuntzen kopurua honela kalkulatzen da:

$EA^k_n = n^k$

Arestiko adibidean, 3 elementuko multzotik 2 elementuko errepikatuzko aldakuntzen kopurua, multzo ordenatuak elementuak errepikatu daitezkeela alegia, hau da:

$EA^2_3 = 3^2=9$.

Formula erraz ulertzen da, errepikatuzko aldakuntzak diren k-koteetan, leku bakoitzean n elementu baitaude aukeran eta horrela, hurrenez hurren biderkatuz $n \cdot n \cdots n=n^k$ k-kote izango dira guztira.

Ikus, gainera

• Permutazio