Eulerren formula

Eulerren formularen interpretazio geometrikoa.

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

$e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sin}\left( x \right)$ ,

non :

x zenbaki erreala den;

e logaritmo naturalaren oinarria den;

i unitate irudikaria den;

sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

$\ln(\cos x + i \sin x) = ix\,$

non ln logaritmo naturala^[1] den.

Frogapena [aldatu]

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

$a$ -n zentratutako $f(x)$ funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

$f(x)=\sum_{n=o}^{\infty}{{C_n}}{(x-a)^n}$

$|x - a| <R$ , non

$C_n = \frac{{f^n}(a)}{n!}$

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta $f(x)=e^x$ hartuz $a=0$ zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{f^n}(0)}{x^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}= 1+{\frac{x}{1!}}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!}}+{...}$

$(-\infty,\infty)$ konbergentzia-tarteko edozein $x$ -rako

$x = 1$ denean, aurreko ekuazioan, $e$ zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

$e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+{\frac{1}{1!}}+{\frac{1}{2!}}+{\frac{1}{3!}}+{...}$

$x$ -ren ordez $ix$ ordezkatzen badugu, orduan:

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} = {\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)^n}\cdot{x^{2n}}}{(2n)!}} + i{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^{n-1}}\cdot{x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}$

Aurreko ekuazioaren ( $e^{ix}$ ) batuketaren lehenengo zatia $cos(x)$ funtzioaren garapena da eta bigarren zatia $sin(x)$ -rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu: