Eulerren formula

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Eulerren formularen interpretazio geometrikoa.

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sin}\left( x \right),

non :

x zenbaki erreala den;
e logaritmo naturalaren oinarria den;
i unitate irudikaria den;
sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

\ln(\cos x + i \sin x) = ix\,

non ln logaritmo naturala[1] den.

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

a-n zentratutako f(x) funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

f(x)=\sum_{n=o}^{\infty}{{C_n}}{(x-a)^n}

|x - a| <R , non

C_n = \frac{{f^n}(a)}{n!}

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta  f(x)=e^x hartuz a=0 zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{f^n}(0)}{x^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}= 1+{\frac{x}{1!}}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!}}+{...}

(-\infty,\infty) konbergentzia-tarteko edozein  x-rako

x = 1 denean, aurreko ekuazioan,  e zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+{\frac{1}{1!}}+{\frac{1}{2!}}+{\frac{1}{3!}}+{...}

 x -ren ordez ix ordezkatzen badugu, orduan:

e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} =
{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)^n}\cdot{x^{2n}}}{(2n)!}} +
i{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^{n-1}}\cdot{x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}

Aurreko ekuazioaren (e^{ix}) batuketaren lehenengo zatia cos(x) funtzioaren garapena da eta bigarren zatia sin(x)-rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

e^{ix} = \cos\left ( x \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( x \right )

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

e^{iux} = \cos\left ( ux \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( ux \right ).

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]