Eulerren metodo

Matematika eta konputazio arloetan, Eulerren metodo izenez ezagutzen den prozedura hasierako balio ezaguna duen ekuazio diferentzialak ebazteko erabiltzen den zenbakizko integrazioko metodoa da. Leonhard Eulerren omenez dauka izena. Hasierako balioa ezaguna denean, eta ezagutza horretan oinarrituz, metodo honek inguruko puntuetako soluzioen hurbilketak lortzen ditu.

Zenbakizko metodoen arteko sinpleena da Eulerren metodoa eta Hasierako Balioko Problemak ebazteko erabiltzen da:

$HBP = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{dy}{dx} & = & f(x,y)\\ y(x_0) & = & y_0\\ y(x_i) & = & ? \end{array} \right .$

Metodoaren azalpena (I)

Ekuazio diferentzialak, $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ ekuazioak, problemaren aldaketa nolakoa den adierazten du, ondorioz, puntu jakin batean soluzioak egiten duen kurbaren aldaketa ezagutzeko bidea eskaintzen digu. Eulerren metodoak hasierako balioan oinarrituz, $f(x_0,y_0)$ balioa soluzioaren aldaketatzat hartzen du, alegia, $x$ aldagaiaren aldaketa unitarioak $y$ aldagaiari $f(x_0,y_0)$ aldaketa eragiten diola suposatzen du. Ondorioz, hasierako balioa ezagutuz, hau da, $x$ aldagaiaren $x_0$ balioarentzat $y$ aldagaiak $y_0$ balioa hartzen duela jakinaz, $x$ aldagaiari $h$ aldaketa eragiten badiogu $y$ aldagaiak jasango duen aldaketa $h * f(x_0,y_0)$ izango dela suposatzean oinarritzen da metodoa. Suposizio horretan oinarrituz $x$ aldagaiak $x_0 + h$ balioa duenean $y$ aldagaiak $y_0 + h * f(x_0,y_0)$ balioa hartuko luke. Jakina, $h$ txikia bada errorea ere txikia izango da, baina $h$ handia bada metodoak emango duen soluzioa benetako soluziotik urrundu egingo da.

Metodoaren azalpena (II)

Gure problemaren soluzioa $y=y(x)$ balitz, hasierako balioa kontuan hartuz, $y_0= y(x_0)$ izango litzateke, eta ekuazio diferentzialak $y'(x_0)=f(x_0,y_0)$ adieraziko luke. Hori kontuan hartuz, $y(x_0+h)$ funtzioaren Taylor seriea honako adirazpen hau litzateke:

$y(x_0+h) = y(x_0) + h*y'(x_0) + \frac{h^2}{2}*y''(x_0) + ...$

Taylor-en serieko lehenengo osagai biak hartzen baditugu Eulerren hurbilketa lortuko dugu, alegia:

$y(x_0+h)=y(x_1)\sim y_1=y_0 + h*f(x_0,y_0)$

Metodoaren urratsak

Metodoak $x_0,y_0$ soluziotik abiatuta $x_i,y_i$ zenbakizko soluzioak ematen ditu. Horretarako $x_i = x_{i-1} +h = x_0 +i*h$ balioak hartzen ditu, eta $y_i = y_{i-1} + h * f(x_{i-1},y_{i-1})$ balioak kalkulatzen ditu. Urrats bakoitzean aurreko urratseko balioak erabiltzen ditu zenbakizko soluzioak kalkulatzeko.