Funtzio injektibo

Funtzio injektiboren adibidea.

Matematikan, funtzio injektiboa $f \colon X \to Y \,$funtzio bat da, $Y\,$-ko (irudi-multzoa) elementu bakoitzari gehienez $X\,$-ko (definizio-eremua) elementu bat esleitzen diona.

Horrela, esaterako, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zenbaki errealen funtzioa: $f(x)=x^2\,$, ez da injektiboa, zeren 4 balioa bi kasutan lor baitaiteke: $f(2)$ eta $f(-2)$. Baina, definizio-eremua zenbaki positibotara murrizten bada, $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ funtzio berri bat lortuz, orduan bada funtzio injektiboa.

Definizio formala

Hizkuntza zehatz batean, $f:X\to Y\,$ funtzio bat injektiboa da hauetako baieztapen baliokide bat betetzen denean:

• $x_1,x_2$ $X\,$ multzoko elementuak badira, non $f(x_1)=f(x_2)$ den, ezinbestez $x_1=x_2$ betetzen da.
• $x_1,x_2$ $X\,$ multzoko elementu desberdinak badira, ezinbestez $f(x_1)\ne f(x_2)$ betetzen da.

Diagrama hauek funtzio injektiboei dagozkie:

Adibideak

• Identitate funtzioa X → X injektiboa da (egiatan bijektiboa da).
• f : R → R funtzioa honela definituta: f(x) = 2x + 1 injektiboa da.
• g : R → R funtzioa honela definituta: g(x) = x² ez da injektiboa, zeren, adibidez, g(1) = 1 = g(−1) baita. Hala ere, g berriro definitzen bada, bere definizio-eremua zenbaki erreal ez negatiboak [0,+∞) izanik, orduan g injektiboa da.
• Funtzio esponentziala exp : R → R honela definituta: exp(x) = e^x injektiboa da (baina ez supraiektiboa, zenbaki negatiboak sortzen ez duelako, x-ren inolako balioarekin erlazio ez dutenak).
• Logaritmo nepertarra. ln : (0, ∞) → R funtzioa honela definituta: x ↦ ln x injektiboa da.
• g : R → R funtzioa honela definituta: g(x) = xⁿ − x ez da injektiboa, zeren, adibidez, g(0) = g(1) baita.

Ikus, gainera

• Funtzio bijektiboa
• Funtzio supraiektiboa
• Bana-banako korrespondentzia