Karratu txikienen erregresio zuzen

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Datuetara (urdinez) doitzen den erregresio zuzen bat.

Estatistikan, karratu txikienen erregresio zuzena karratu txikienen erregresioz lortutako zuzena adierazten du.

Aldagai independente bakarreko zuzena aztertuko da artikulu honetan, erregresio bakuna deiturikoa alegia. Aldagai independente bi edo gehiago direnean (erregresio anizkoitza deiturikoa), karratu txikienen erregresioaren bitartez, erregresio zuzena (bi aldagai independente) edo erregresio planoa (hiru aldagai independente edo gehiago) nola eratu eta aztertzen den jakiteko, ikus Erregresio lineala.

Zuzenaren zenbatespena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Datuak (x_i,\ y_i) izanik, karratu txikienen erregresioaren bitartez doituko den \hat{y}=a+bx zuzenaren parametroak hauek izango dira, x aldagai independentetzat eta y mendeko aldagaitzat hartuz:

b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}
a=\overline{y}-b\overline{x}

Frogapena:

Hondar karratuak har ditzagun (ikus Karratu txikienen erregresioa):


\sum_ie_i^2=\sum_i(y_i-\hat{y}_i)^2=\sum_i(y_i-a-bx_i)^2

Azken adierazpena minimotzen duten a eta b zuzenaren parametroak kalkulatu behar dira. Horretarako, a eta b parametroei buruzko deribatu partzialak kalkulatu eta deribatu hauek 0 egiten duten a eta b parametroen balioak eman behar dira:

\frac{\partial \sum (y_i - a-bx_i)^2 }{\partial a} = 0 \rightarrow 2\sum_i(y_i-a-bx_i)=0
\frac{\partial \sum (y_i - a-bx_i)^2 }{\partial b} = 0 \rightarrow 2\sum_ix_i(y_i-a-bx_i)=0

Aurreko ekuazioak garatuz:

\sum_iy_i=a+b\sum_ix_i
\sum_ix_iy_i=a\sum_ix_i+b\sum_ix_i^2

Eta Cramer-en erregela erabiliz, erraz lortzen dira parametroek eduki beharreko balioak:

b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}
a=\overline{y}-b\overline{x}

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

40 urteko 4 gizonezkoaren gainean, garaiera eta pisuak jaso dira, datuak lehenengo bi zutabeetan azaltzen direlarik. x aldagai independente moduan garaiera aukeratu bada:

Garaiera (cm) (x) Pisua (kg) (y) xy x2
170 82 13 940 28 900
175 76 13 300 30 625
180 85 15 300 32 400
190 92 17 480 36100
batura=715 batura=335 batura=60 020 batura=128 025
b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{\frac{60020}{4}-\frac{715}{4}\times \frac{335}{4}}{\frac{128025}{4}-\frac{715}{4}^2}=0.63
a=\dfrac{335}{4}-0.63 \times \frac{715}{4}=-29.62

Horrela, x garaiera (aldagai independente moduan) eta y pisua (mendeko aldagai moduan) lotzen dituen karratu txikienen zuzena hau izango da:

\hat{y}=-29.62+0.63x

Doikuntzaren egokitasuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Doitutako zuzena modu hobean edo okerragoan egokitu daiteke datuetara. Hau dela eta, doikuntzaren egokitasuna aztertu ohi da doitutako zuzena zenbateraino den adierazgarria jakiteko. Azterketa hau egiteko gehien erabiltzen den neurria R^2 mugatze koefizientea da.


Mugatze koefizientea kalkulatzeko, y mendeko aldagaiaren lagin bariantza, s^2_y bariantza osoa deritzona, eta zuzenean x balioak ezarriz aurresandako emaitzen lagin bariantza, zuzenaren bitartez s^2_{\hat{y}} azaldutako bariantza deritzona, kalkulatu behar dira. Mugatze koefizientea azaldutako bariantza zati bariantza osoa da, eta ehunekotan zuzenak azaldutako bariantza osoaren zatia da: zenbat eta handiagoa izan, orduan eta egokitasun hobea, gehienez %100era hel daitekeelarik (aipatu behar da azaldutako bariantza ez dela inoiz bariantza osoa baino handiagoa). Mugatze koefizientea 0.6tik gorakoa denean, doikuntzaren egokitasuna handia dela esan daiteke.

Arestiko adibidea hartuz:

y \hat{y}=-29.62+0.63x
82 77.48
76 80.63
85 83.78
92 90.08

R^2=\frac{s^2_{\hat{y}}}{s^2_y}=\frac{21.71}{33.19}=0.65

Beraz, zuzenaren egokitasuna handia dela esan daiteke [1].

Bestelako jakingarriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Karratu txikienen erregresio zuzenean, e_i=y_i-\hat{y}_i hondarren batura 0 da beti. Kalkuluak eskuz egiten direnean propietate erabilgarria izan daiteke, kalkuluak zuzen egin diren egiaztatzeko.

Erreferentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. Adibidean egindako kalkuluak hartutako dezimalen arabera alda daitezke.
Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Karratu txikienen erregresio zuzen Aldatu lotura Wikidatan