Lan (fisika)

Lana eta potentzia ezberdintzen ikasteko azalpena.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Lan (fisika)
Formula	$A=\int _{\Gamma }{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}$
Formulako ikurra	$A$, ${\boldsymbol {F}}$ eta ${\boldsymbol {r}}$
Ohiko ikurra	$W$ eta $A$
Neurtzeko unitatea	joule eta kilogram square metre per square second (en)
Dimentsioa	${\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}$

Lana magnitude fisiko bat da, gehien bat mekanikaren arloan erabiltzen dena. Indar batek objektu batean eragitean, honela definitzen da indar horrek objektuan eginiko lana: «indarraren balioaren eta objektuak izandako desplazamenduaren arteko biderkadura eskalarra». Lehenengo aldiz kontzeptu hori izendatu zuena Gaspard-Gustave Coriolis izan zen; berak “travail” deitu zuen 1826an, frantsesez.

Hortaz, lan deritzon magnitude fisikoak “indar batek objektu batean eginiko lana” adierazten du, eta definizioak dioenez, magnitude eskalarra da. Sinbolo bidez idaztean, gaur egun $W$ ikurraz adierazten da gure inguruko hizkuntza guztietan  (ingelesezko “work” hitzetik). Objektu batean indarrak eginiko lana energia-unitatetan adierazten da. Nazioarteko SI sistemako lan-unitatea joule izenekoa da (${\text{J}}$ sinboloa).

Lana, energiaren transmisioa

Indar batek objektu batean lana egitean, indarrak energia transmititzen dio objektuari; hau da, lana egitean, indarrak eman edo kendu egiten dio energia objektuari: lana energiaren transmisioa da. Bestela esanda, gorputz baten gainean egindako lana gorputz horri egindako energiaren transferentzia gisa uler daiteke. Transferitutako lan hori energia moduan pilatzen da objektuan; objektuak irabazi egiten du energia, energia zinetiko edo energia potentzial gisa. Era berean, gorputz batek beste bati lana transferitzean, lehenengoak energia galtzen du, zeren, energiaren kontserbazioaren printzipioa tarteko, energia ez baita ez sortzen ez deusezten, kontserbatuz transmititzen baizik.

Nolanahi ere, gorputz baten gainean egindako lana ez da soilik gertatzen gorputzaren desplazamenduzko leku-aldaketa batean. Leku-aldaketarik gabe egindako lan baten adibide modura bi kasu arrunt aipa ditzakegu: batetik, gas baten konpresioa gauzatzean lana egiten da gasaren barne-energia gehituz; bestetik, indar magnetiko batek eraginda ere lana egin daiteke, gorputzaren barneko partikulen mugimendu mikroskopiko ikusezinak gertatzean. Izan ere, energia mekanikoaz gain, mota askotakoa izan daiteke objektuaren energia, hala nola energia elektrikoa, kimikoa, termikoa… Baina, betiere, energia kontserbatu egiten da guztira, objektu batetik beste batera transferitzean.

Lana mekanikan

Mekanikaren arloan gabiltzala, jarraian partikula puntual batean eragiten ari den indar batek sorturiko lana zehazteko kontzeptuak aztertuko ditugu, definiziotik hasiz eta ondoren zenbat adibide aipatuz.

Demagun partikula puntual bat dugula, eta partikula hori indar-eremu batean higitzen ari dela, zeinean partikulan kanpotik eragiten ari den indarra posizio-bektorearen funtzioa den: ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})$. Indarraren eraginez, partikula higitu egingo da, azeleratuz, eta posizio-bektorea denboraren funtzio modura adierazi ahalko da: ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(t)$. Oro har, partikulak ibilbide kurbatua izango du, eta, zer esanik ez, partikularen abiadurak ibilbidearen tangentearen norabidea izango du puntu bakoitzean, alboko irudian grafikoki azalduta dagoen bezala. Egoera horretan, bi pausotan egingo dugu lan kontzeptuaren definizioa: lehenik, puntu bakoitzean eginiko lan infinitesimala definituko dugu eta, ondoren, ibilbideko bi punturen arteko lana.

Lanaren definizioa

Partikularen ibilbideko bi punturen artean F indarrak eginiko lanaren definizioa.

Lehenik, partikula $P$ puntutik aurrera eginiko desplazamendu infinitesimala, ${\text{d}}{\boldsymbol {r}}$, kontsideratuko dugu. Honelaxe definituko dugu lan infinitesimala:

$${\text{d}}W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=F{\text{d}}s\cos {\theta },$$

non $\theta$ ibilbidearen norabide ukitzailearen eta indarraren norabidearen arteko angelua den eta ${\text{d}}s=\left\vert {\text{d}}{\boldsymbol {r}}\right\vert$ izanik.

Definizio horretan oinarriturik, honelaxe kalkulatzen da ibilbideko $A$ eta $B$ puntuen artean ${\boldsymbol {F}}$ indarrak eginiko lana:

$$W_{AB}=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int _{A}^{B}Fv\cos {\theta }{\text{d}}t.$$

Alegia, $A$-tik $B$-ra guztira eginiko lana tarteko lan infinitesimal guztien batura da, hots, lan infinitesimal guztien integral kurbilineoa ibilbideko puntu guztietan zehar.

Definizio orokor hori nola gauzatzen den ikusteko, zenbait kasu berezi aipatuko ditugu

Indar konstanteak ibilbide zuzenean eginiko lana

Marruskadurarik gabeko plano batean eginiko lana.

Lehenik, indar konstante batek marruskadurarik gabeko gainazal baten gainean dagoen objektu bat horizontalki desplazatzean egindako lana kalkulatuko dugu. Indar konstantea ${\boldsymbol {F}}$ bektoreaz adieraziz eta $A$ eta $B$ puntuen arteko desplazamendua $\Delta {\boldsymbol {r}}$ bektoreaz, indarrak guztira eginiko lana bi bektore horien arteko biderkadura eskalarra da:

$$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}=F\Delta s\cos \theta ,$$

non $\theta$ angelua bi bektoreen arteko angelua den. Hain zuzen, $\theta$ angeluaren balioaren arabera, hiru kasu berezi gerta daitezke:

• $-90^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ denean, $0<\cos \theta <1$ da , eta hortaz, $W>0$ da. Hau da, indarrak eginiko lana positiboa da, hots, indarrak energia transmititzen dio objektuari. Indar motrizea dela esaten da, objektua azeleratzen ari delako.  
• $90^{\circ }<\theta <270^{\circ }$ denean, $-1<\cos \theta <0$. Beraz, $W<0$ da. Indarrak eginiko lana negatibo da; horrek esan nahi du indarrak energia kentzen diola objektuari. Indar erresistentea dela esaten da, objektua frenatzen ari delako.
• $\theta =90^{\circ }$ edo $\theta =270^{\circ }$ denean, $\cos \theta =0$ da , eta hortaz, $W=0$ da. Ibilbidearekiko perpendikularra den indarrak ez du lanik egiten.

Marruskadura-indarrak lan negatiboa egiten du

Marruskadura-indarrak lan negatiboa egiten du. F indarraren osagai normalak ez du lanik egiten.

Objektuaren eta gainazalaren artean marruskadura dagoenean, kontuan hartu behar da marruskadura-indarraren eragina. Alboko grafikoan ikus daitekeenez, marruskadura-indarraren norabidea higiduraren norabidearen aurkakoa da; bestela esanda, $\theta =180^{\circ }$ da, hots, $\cos \theta =-1$. Horrek esan nahi du $s$ desplazamenduan indarrak egingo duen lana $W_{\text{f}}=-F_{\text{f}}s$ izango dela; negatiboa, alegia. Eta lan hori oposatu egingo zaio ${\boldsymbol {F}}$ indarraren osagai tangenteak eginiko $W_{\text{t}}=Fs\cos \theta =F_{\text{t}}s$ balioko lanari. Hortaz, marruskadurarekin objektuak guztira irabaziko duen energia hauxe izango da:

$$W=Fs\cos \theta -F_{\text{f}}s.$$

Higidura zirkular uniformean indar zentripetuak ez du lanik egiten.

Bestalde, ${\boldsymbol {F}}$ indarraren osagai normalaren modulua $F_{\text{n}}=F\sin \theta$ da, eta beraren kasuan $\theta =90^{\circ }$ izanik $\sin \theta =0$ denez, $W_{\text{n}}=0$da. Alegia, osagai normalak ez du lanik egiten. Arrazoi berberagatik pisuak eta lurraren osagai normalak ere ez dute lanik egiten (bi indar horiek ez daude alboko grafikoan adierazita).

Higidura zirkular uniformean ez da lanik egiten

Higidura zirkular uniformean partikularen gainean eragiten ari den indar bakarra indar zentripetua da, ${\boldsymbol {F}}_{\text{zp}}$. Indar zentripetuaren norabidea etengabe aldatzen ari den arren, erradiala da denbora guztian; bestalde, abiaduraren norabidea ibilbidearen ukitzailea da etengabe, eta desplazamendu infinitesimala abiaduraren norabideko berekoa denez, indar zentripetua eta desplazamendu infinitesimala elkarren perpendikularrak dira aldiune guztietan: ${\boldsymbol {F}}_{\text{zp}}\perp {\text{d}}{\boldsymbol {r}}$. Ondorioz, lan infinitesimala nulua da ibilbideko puntu guztietan. Bestela esanda, higidura zirkular uniformean indar zentripetuak ez du lanik egiten.

Lana eta energia mekanikoa

Lana indarrek objektuei transmitituriko energia izanik, erlazio zehatzak daude lanaren eta mota desberdinetako energien artean. Mekanikaren arloan oso garrantzitsuak dira indarrak eginiko lana partikularen energia zinetikoarekin eta energia potentzialarekin lotzen duten adierazpenak.  

Lana eta energia zinetikoa

Demagun $m$ masadun partikulak jasaten dituen indar guztien erresultantea ${\boldsymbol {F}}$ dela. Goiko atalean emaniko lanaren definizio orokorretik abiaturik, ibilbideko $A$ eta $B$ puntuen artean eginiko $W_{AB}$ lana kalkulatzeko, indar erresultanteak ibilbideko puntu bakoitzean duen ${\boldsymbol {F}}_{\text{t}}$ osagai tangentziala soilik izan beharko dugu kontuan:

$$W_{AB}=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int _{A}^{B}F_{\text{t}}{\text{d}}s=\int _{A}^{B}ma_{\text{t}}{\text{d}}s.$$

Azelerazio tangentzialaren modulua $v$ abiaduraren moduluaren deribatua da: $a_{\text{t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}$. Era berean, $\operatorname {d} \!t$ denbora-tarte infinitesimaleko desplazamendu infinitesimalak ${\text{d}}s=v{\text{d}}t$ balio duela kontuan izanik, modu honetan osa dezakegu aurreko integrala:

$$W=\int _{A}^{B}ma_{\text{t}}{\text{d}}s=\int _{A}^{B}m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}v{\text{d}}t=\int _{A}^{B}mv\operatorname {d} \!v={\frac {1}{2}}mv_{A}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{B}^{2}.$$

Emaitza horretan oinarriturik, ibilbideko puntu bakoitzean partikulari dagokion energia zinetikoa deritzon magnitude fisikoa defini dezakegu, $E_{\text{k}}$ sinboloaz adieraziko duguna:

$$E_{\text{k}}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}.$$

Agerikoa denez, energia zinetikoa magnitude eskalarra da, partikula bakoitzaren kasuan abiaduraren moduluaren karratuaren proportzionala dena. Gauzak horrela, indar erresultanteak partikulari transmitituriko energia partikulan energia zinetikoa pilatzeko erabili dela esan dezakegu. Indarrak partikulan $A$ eta $B$ puntuen artean egindako lanak handiagotu egin du partikularen energia zinetikoa:

$$W_{AB}=E_{{\text{k}}B}-E_{{\text{k}}A}=\Delta E_{{\text{k}}AB}.$$

Hau da, indarrak eginiko lana partikularen energia zinetiko bihurtu da; bestela esanda, $A$-tik $B$-ra ${\boldsymbol {F}}$ indarrak eginiko lanak partikulak $A$ puntuan zeukan energia zinetikoa handiagotu du $B$ puntura iristean. Energiaren gehikuntza hori $\Delta E_{AB}$da.

Indar-eremu kontserbakorretan, lan bera egin behar da partikula $1$ puntutik eta $2$ puntura eramateko edozein ibilbidetatik.

Lana eta energia potentziala (indar-eremu kontserbakorra)

Indar-eremu berezi batzuetan, partikulan eragiten ari den indarra partikularen posizioaren funtzioa da soilik. Kasu horretan, edozein ibilbidetatik joanda ere, lan berbera egin behar da partikula $1$ puntutik eta $2$ puntura eramateko. Eta partikularen ibilbidea itxia denean —hasiera puntuan eta amaierako puntua berberak direnean— indarrak eginiko lana nulua da:

$$\int _{1(S_{1})}^{2}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}+\int _{2(S_{2})}^{1}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\oint {\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=0.$$

Orduan, indar-eremua kontserbakorra dela esaten da; horrelakoa da, adibidez, mekanika newtondarreko eremu grabitatorioa.

Indar-eremu kontserbakorren kasuan, partikulak puntu bakoitzean duen energia potentziala defini daiteke posizio-bektorearen funtzio modura, eta $E_{\text{p}}$ edo $E_{\text{p}}({\boldsymbol {r}})$ sinboloaz adierazten da. Indar-eremu kontserbakorretan eremuko indarrak bi punturen artean partikulari transmititzen dion energia bi puntu horietako energia potentzialen kenduraren berdina da:

$$W_{AB}=E_{{\text{p}}{A}}-E_{{\text{p}}{}B}=\Delta E_{{\text{p}}AB}.$$

Zer esanik ez, indar kontserbakor batek ibilbide itxi batean zehar ($A$ puntutik $A$ punturako ibilbidea osatzean) energia potentziala ez da aldatzen nulua izango da:

$$W_{AA}=E_{{\text{p}}{A}}-E_{{\text{p}}{A}}=\Delta E_{{\text{p}}AA}=0.$$

Energia mekaniko osoa

Bestalde, lanaren balioa energia zinetikoaren eta energia potentzialaren bidez daukaten aurreko bi adierazpenak batera harturik, energia mekanikoaren kontserbazioaren printzipioa agertuko zaigu:

$$W_{AB}=E_{{\text{k}}B}-E_{{\text{k}}A}=E_{{\text{p}}A}-E_{{\text{p}}B},$$

$$E_{\text{mek}}\equiv E_{{\text{k}}A}+E_{{\text{p}}A}=E_{{\text{k}}B}+E_{{\text{p}}B}.$$

Hain zuzen, indar-eremu kontserbakorretan partikularen energia mekanikoa, $E_{\text{mek}}$, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura modura definitzen da. Horrela, indar-eremu kontserbakorretan energia mekanikoaren kontserbazioaren printzipioa betetzen da. Horregatik, deitzen dira “kontserbakorrak”.

Lana eta potentzia

Lanarekin zuzenki erlazionaturiko beste magnitude fisiko bat dago, potentzia izenekoa. Fisikan, potentzia deritzo sistema fisiko batetik bestera energia transmititzeko abiadurari; $P$ sinboloarekin adierazi ohi da eta watt izeneko unitatetan neurtzen da (${\text{W}}$ sinboloa). Watt unitatea honelaxe erlazionatzen da joule unitatearekin:

$${\text{1 W}}={\text{ 1 J·s}}.$$

Aldiuneko potentzia denbora-unitatean transmitituriko lanari dagokio; alegia, era matematikoan honetan definitzen da:

$$P(t)={\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}t}}.$$

Mekanikan, partikula baten kasuan, ${\text{d}}t$ denbora-tartean desplazamendu infinitesimala ${\text{d}}{\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {v}}{\text{d}}t$ dela kontuan izanik, ${\boldsymbol {F}}$ indarrak tarte horretan eginiko lan infinitesimala ${\text{d}}W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}{\text{d}}t$ denez, eta aldiuneko potentzia honelaxe adieraziko da:

$$P(t)={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}.$$

Hortaz, ${\text{d}}t$ denbora-tarte infinitesimalean partikulari transmitituriko lana honelaxe adieraz daiteke aldiuneko potentziaren funtzioan:

$${\text{d}}W=P(t){\text{d}}t.$$

Bestalde, denbora-tarte finitu batean —hasierako $t_{0}$ aldiunetik $t$ aldiunera bitartean— indarrak eginiko lana aldiuneko potentziaren integral kurbilineoa izango da Ibilbidean zehar:

$$W=\int _{t_{0}}^{t}P(t){\text{d}}t.$$

Presio-indarren lana

Atmosferako presioak pistoian eginiko indarra, $F_{\text{at}}$, eta zilindroko gasasen presioak eginikoa, $F_{\text{g}}$. Bi indar horien erresultanteak bultzatzen du pistoia.

Presio-indarrek eginiko lana oso arrunta da termodinamikan, arlo hori asko garatu baitzen lurrun-makinaren erabileran oinarrituriko industria-iraultzaren garaian. Adibide gisa, motor termiko batean zilindro-pistoi multzoaren bidez lorturiko lan mekanikoa aztertuko da jarraian: zehazki esanda, zilindroaren barneko gasaren presioz pistoian sorturiko indarrak kanpoko ingurunearen presioaren aurka egindako lana, baita pistoian eragindako higidura azeleratua ere.

Alboko irudiko grafikoan ageri den sisteman ikus daitekeenez, atmosferako airearen $p_{\text{at}}$ presioaz $S$ gainazaleko pistoiari eginiko kanpo-indarrak balio hau izango du:

$$F_{\text{at}}=p_{\text{at}}S.$$

Zilindroaren barneko gasak $p_{\text{g}}$ presioa duela suposatuko dugu, kasu honetan $p_{\text{g}}>p_{\text{at}}$ izanik. Gasaren presioak pistoiari une oro egingo dion indarraren moduluak, $F_{\text{g}}$, balio hau izango du,

$$F_{\text{g}}=p_{\text{g}}S,$$

eta aurkako noranzkoa du. Bi indar horien erresultanteak balio hau du:

$$F=F_{\text{g}}-F_{\text{at}}=(p_{\text{g}}-p_{\text{at}})S,$$

eta eskuineranzkoa da. Ondorioz, pistoia azeleratu egingo da eskuinerantz, pistoiaren energia zinetikoa handiagotuz. Kasurako, presioaren eraginez pistoia ${\text{d}}l$ distantzia desplazatzean, indar erresultanteak lan infinitesimal hau egingo du pistoian:

$${\text{d}}W=(p_{\text{g}}-p_{\text{at}})S{\text{d}}l=(p_{\text{g}}-p_{\text{at}}){\text{d}}V.$$

non ${\text{d}}V$ hori motorreko gasaren bolumenaren aldaketa diferentziala den. Beraz, pistoiari eginiko lan diferentzialaren balioa pistoiaren bi aldeetan dauden presioen kenduraren eta zilindro barruko bolumenaren gehikuntzaren arteko biderkadura da. Zer esanik ez, $A$ eta $B$ puntuen artean desplazatzean presio-indarrek guztira eginiko lana lan diferentzial horien guztien integrala izango da:

$$W_{AB}=\int _{A}^{B}{\text{d}}W=\int _{A}^{B}(p_{\text{g}}-p_{\text{at}}){\text{d}}V.$$

Lana termodinamikan

Energiak ez du beti izaera mekanikoa, zeren elkarrekintza batean trukatutako energia forma desberdinetan ager baitaiteke, adibidez, bero-energia, energia elektriko, energia magnetiko edota energia kimiko modura. Horrelakoak barne-energia izenean biltzen dira testuinguru batzuetan.

Termodinamikaren arloan, halere, arreta berezia jartzen zaio beroaren eta lanaren arteko erlazioari. Izan ere, termodinamikaren lehenengo printzipioak beroaren trukeari buruz dioen moduan, sistema termodinamiko batek lana egiten badu eta aldi berean beste sistema batekin beroa trukatzen badu, sistemaren barne-energia aldatu egingo da. Hain zuzen, prozesuan zehar gertaturiko sistemaren barne-energiaren gehikuntza da, zehazki, sistemari emandako beroaren eta sistemak egindako lanaren arteko kendura:

$$\Delta U=Q-W.$$

Adierazpen horretan, $\Delta U$ sistemaren barne-energia da; $Q$, sistemari emandako beroa eta $W$, sistemak egindako lana. Beste era batera esanda, beroa sistemak lanaren eta barne-energiaren arteko diferentzia konpentsatzeko sistemak trukatu behar duen energia modura jokatzen du.

Lan-unitateak (energia-unitateak)

Nazioarteko SI sistema

• joule (${\text{J}}$): ${\text{1 J}}={\text{1 N·m}}={\text{1 m}}^{2}{\text{kg·s}}^{-2}$
• kilojoule (${\text{kJ}}$): ${\text{1 kJ}}=10^{3}{\text{ J}}$

Unitateen sistema teknikoa

• kilogrametro, kilogramo-indar×metro edo kilopond-metro (${\text{kgm}}$): ${\text{1 kgm}}={\text{9,81 N·m}}={\text{9,81 J}}$

Nazioarteko CGS sistema

• erg (${\text{erg}}$): ${\text{1 erg}}=10^{-7}{\text{ J}}$

Unitate anglosaxoiak

• thermia (${\text{th}}$): ${\text{1 th}}=10^{6}{\text{ cal}}$
• ${\text{BTU}}$ (British Thermal Unit): ${\text{1 BTU}}={\text{1.055,06 J}}$

Beste energia-unitate batzuk

• kilowatt-ordu (${\text{kWh}}$): ${\text{1 kWh}}={\text{3.600 kJ}}$
• atmosfera-litro (${\text{atm·L}}$): ${\text{1 atm·L}}={\text{101,3 J}}={\text{24,22 cal}}$ 1 atm·L = 101,3 J = 24,22 cal
• kaloria (${\text{cal}}$): ${\text{1 cal = 4,1868 J}}$

Ariketak

• Lana eta potentzia
• Lana eta potentzia lantzeko ariketa.
• Lana eta potentzia lantzeko ariketa II.

Ikus gainera

• Energia
• Energia berriztagarri
• Energia ez-berriztagarri
• Energia zinetikoa
• Energia potentziala
• Indarra
• Magnitude fisikoa
• Potentzia (fisika)

Bibliografia

• J.M. Agirregabiria, Mekanika klasikoa, UPV/EHU (2004), ISBN 84-8373-631-4
• Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (2003-12-31) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU ISBN 9788484380450. Noiz kontsultatua: 2018-12-07
• M., Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN 9788490820308 PMC932800438. Noiz kontsultatua: 2018-12-07.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-

Kanpo estekak

• Datuak: Q42213
• Multimedia: Work (physics) / Q42213