Matrize

Artikulu hau matematikako adierari buruzkoa da, beste adierei buruz jakiteko, ikus Matrize (argipena).

Matematikan, matrizea zenbakiz osaturiko errenkada (edo zutabe) multzo laukizuzen bat da, beste matrize batekin batera batu eta biderkatu egin daitekeena. Adibidez, honakoa 2 errenkada eta 3 zutabe dituen matrizea da:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\6&5&4\end{bmatrix}}$

Askotan, matrizeak ekuazio linealetako sistemak planteatu eta ebazteko erabiltzen dira. Halaber, aljebra linealaren funtsezko tresna dira eta horrela, aplikazio zabalak dituzte zientziaren arlo anitzetan, ekonomiatik (non errenkadaz errenkada herrialde ezberdinetan izandako gai andana baten ekoizpenak adieraz ditzaketen, esaterako) fisikara (hiru dimentsiotako kokapenak islatzen denean, adibidez).

Notazioa eta definizioak

m errenkada eta n zutabe dituen matrizea m × n matrizea dela esaten da. m eta n matrizearen dimentsioak dira. m eta n dimentsiotako matrize guztien multzoa M(m,n) idazten da.

Bi dimentsioetako bat, m edo n, 1 bada, matrizea bektore bat dela ere esan daiteke. m=1 denean, matrizea errenkada-bektore dela esaten da. n=1 denean, matrizea zutabe-bektorea dela esaten da.

i-garren errenkada eta j-garren zutabeko A matrize bateko elementua (i,j) elementua da eta a_i,j adierazten da.

Horrela, m × n matrize bat honela adieraz daiteke: A = [a_i,j]_m×n, non (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n).

Adibide gisa hartutako goiko matrizea honela adieraz daiteke, beraz:

$A=[a_{i,j}]_{3\times 2}={\begin{bmatrix}1&2&3\\6&5&4\end{bmatrix}}.$

Eta esate baterako, $a_{21}=6\,$

Horrela, A matrize bateko elementuen kokapen orokorra hau izango da:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}}$

Matrize-eragiketak

Matrizeen artean eragiketa anitz defini daitezke. Matrizeak elkarren artean batu eta biderkatu egin daiteke. Eskalar batez biderkatu ere egin daitezke. Matrize bat irauli egin daiteke. Matrize baten alderantzizko matrizea ere definitzen da.

Oinarrizko eragiketak

Eragiketa	Definizioa	Adibidea
Batuketa	Dimentsio bereko A eta B matrizeen batuketa egiteko euren elementuen batuketa egiten da, elementuz elementu.	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
Biderketa eskalarra	k zenbaki baten (aljebran, k zenbakia eskalar bat dela esaten da) eta A matrize baten biderketa A matrizeko elementu guztiak k eskalarraz biderkatuz egiten da.	${\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$
Iraulketa	m × n dimentsioko A matrize baten A' edo AT matrize iraulia A matrizean zutabeak errenkada bihurtuz (edo errenkadak zutabe bihurtuz) suertatzen den hura da.	${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&0\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&0\end{bmatrix}}$

Matrizeen biderketa

A and B matrizeen AB biderketa azaltzen duen irudi bat.

Bi matrizeen biderketa lehenengo biderkagai den matrizearen zutabe kopurua bigarren biderkagaia den matrizearen errenkada kopuruarekin bat badator bakarrik definitzen da. Horrela A m × n dimentsioko matrizea bada, eta B n × p matrizea bada, AB biderkadura-matrizea m × p dimentsiokoa da eta bere ab elementuak honela kalkulatzen dira, A eta B matrizeetako a eta b elementuak harturik:

$ab_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+...+a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},$

Adibidez,

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {1}}&{\underline {0}}&{\underline {2}}\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&{\underline {1}}\\2&{\underline {1}}\\1&{\underline {0}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}5&{\underline {1}}\\4&2\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Esate baterako, azpimarratutako 1 elementua honela kalkulatzen da:

$1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0=1$.

Erreferentziak

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Matrize