Matrize diagonal

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, D = (d_{i,j}) matrizea diagonala da baldin eta soilik:

(d_{i,j}) = 0\ \forall i \ne j bada. Hau da:
D = {\rm diag} (d_{11}, d_{22}, \dots, d_{nn})
= \begin{pmatrix}
  d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 
  0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
  0 & \cdots & 0 & d_{nn}
\end{pmatrix}.

Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

\begin{pmatrix}
1 & 0&0 \\
0 & 4&0 \\
0&0&-2\end{pmatrix}

Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a1,...,an) notazioa erabiltzen da, non a1,...,an diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak edo gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.


Eragiketak matrizeekin[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

eta matrizeen biderketarako,

diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

diag(a1,...,an) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik a1,...,an elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, n×n dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.