Matrize diagonal

Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, $D=(d_{i,j})$ matrizea diagonala da baldin eta soilik:

$(d_{i,j})=0\ \forall i\neq j$ bada. Hau da:

$D={\rm {diag}}(d_{11},d_{22},\dots ,d_{nn})={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$.

Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a₁,...,a_n) notazioa erabiltzen da, non a₁,...,a_n diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.

Matrize diagonalgarria

Izan bedi $f\in End(V)$. Esaten da $f$ diagonalgarria dela, existitzen bada $f$-ri elkartutako $D$ matrize diagonal bat, edo baliokidea dana, bektore propioz osatutako $V$-ren $\beta$-oinarri bat lor badaiteke, izan ere, kasu horretan $M{\scriptstyle {\text{B}}}(f)=D$ izango baita.

• $A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)$ matrize karratu diagonalgarria dela diogu $\exists D\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)$ matrize diagonala $A$-rekin antzekoa ($D=P^{-1}*A*P,P\in GL{\scriptstyle {\text{n}}}(K)$ ) dana. Endomorfismo bati elkartutako matrizeek elkarren artean antzekoak diranez, hau dogu:

$f\in End(V)$ eta $A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)$ edozein badira: $f$ diagonalgarria $\Longleftrightarrow A$ diagonalgarria.

Bereziki, $A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)$ edozein matrize karratu bada,

$B$ diagonalgarria $\Longleftrightarrow B$ matrizea modu naturalean definitzen dauan $f{\scriptstyle {\text{B}}}$ endomorfismoa diagonalgarria bada.

${\displaystyle f\in End(V)}$ izanik ($dim(V)=n$), orduan $f$ diagonalgarria da bi kasu honeek betetzen dauzanean:

1. $\chi f(x)$ polinomioaren $n$ erroak $K$ gorputzean dagoz. Kasu honetan $\chi f(x)$ $K$-ren gainean banatzen dala esaten da.
2. $\lambda ,f$-ren balio propio guztietarako $dim(V(\lambda ))=m(\lambda )$

Eragiketak matrizeekin

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

eta matrizeen biderketarako,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

diag(a₁,...,a_n) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik a₁,...,a_n elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, n×n dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.

Kanpo estekak

• Datuak: Q332791