Multzo

Wikipedia(e)tik

Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Matematikan, multzo bat beraien artean ezberdindu daitezkeen eta aldez aurretik definituta dauden objektuen bilkura da. Elementuak deitzen diren objektu hauek edozein erakoak izan daitezke: zenbakiak, hitzak, pertsonak, multzoak etab. Multzoak letra larriz idatzi ohi dira. A eta B multzoak berdinak direla esaten denean, bien elementuak berberak direla esan nahi du.

Multzoak lantzen dituen multzo-teoria nahiko berria den arren, oso garrantzitsua da matematikan. Multzo-teoriaz baliatuz gainontzeko matematika dena eraiki daiteke. Adibidez, aljebra abastraktuko egiturak hainbat eragiketaz baliaturiko multzoak dira. Erlazio matematikoak ere bi multzoren arteko biderkadura kartesiarraren azpimultzoak besterik ez dira. Hala ere, sortutako paradoxa batzuek teoria axiomatikoaren lantzea behartu zuen.

Eduki-taula

[aldatu] Idazkera

Orokorrean, multzoak letra larriz idatzi ohi dira, eta elementuak letra xehez. Multzoak deskribatzeko orduan, bi era daude: hedadurazko definizioa eta definizio intentsiboa. Lehenengoan, multzo baten elementu denak giltza artean zerrendatzen dira, A = {1, 2, 3, 4}, B = {gorria, berdea, urdina} edo ℕ = {1, 2, 3, ...} adibidez. Elementuen ordena ez da garrantzizkoa, {1, 4, b} = {b, 1, 4} delarik. Bigarren eran, multzoa osatzen duten elementuen deskribapena ematen da; elementu horiek p(x) propietate bat betetzen badute, C = {x / p(x)} idazten da. Aurreko A multzoa era honetan idatzia A = {n ∊ ℕ / 1 ≤ n ≤ 4 } litzateke.

Elementu bat multzo batena dela adierazteko x ∈ X idazten da. Aldiz, x elementua X multzoan ez badago, x ∉ X idazten da. Aurreko adibideetan, 2 ∈ A eta horia ∉ B izango litzateke.

Elementurik ez daukan multzo baten existentzia onartzen da, multzo hutsa deiturikoa, eta ∅ bezala idazten da. ∅ = {} da, beraz.

[aldatu] Kardinala

Multzo baten kardinala multzo horrek duen elementu kopurua da. A = {e, 4, ⌘} multzoaren kardinala |A| = 3 izango litzateke, multzoa hiru elementuz osatua baitago. Multzo hutsaren kardinala zero da, |∅| = 0. Kardinala ere infinitua izan daiteke, ℕ zenbaki arrunten multzoaren kasuan bezala. Orduan multzoa infinitua dela esaten da. Kardinal infinituak batzuk besteak baino handiagoak izan daitezke; zenbaki errealen kardinala zenbaki arruntena baino handiagoa da, adibidez.

[aldatu] Azpimultzoak

A B-ren azpimultzoa da

A multzo baten elementu guztiak B multzoarenak ere baldin badira, A B-ren azpimultzo bat dela esaten da eta A ⊆ B idazten da. Era berean, B ⊇ A idatz daiteke B multzoak A barnean hartzen duela adierazteko. Definizio honetan A eta B berdinak izan daitezke. A B-ren azpimultzoa baldin bada, baina ezberdina, A ⊊ B bezala adierazten da, eta A B-ren azpimultzo jatorra dela esaten da; era berean, B ⊋ A idatz daiteke.

Batzuetan A ⊂ B idazten da A ⊆ B beharrean. Beste batzuetan, ⊂ sinboloa ⊊-ren ordez erabiltzen da.

Multzo hutsa multzo ororen azpimultzoa da, ∅ ⊆ A, eta multzo oro beraren azpimultzo da, A ⊆ A. Inklusioak erlazio erreflexiboa, antisimetrikoa eta trantsitiboa betetzen dituenez, ordena partzialeko erlazioa da.

[aldatu] Potentzia multzoa

A multzo baten azpimultzoek osatzen duten multzoari potentzia multzoa deritzo, eta ℘(A) edo 2A idazten da. Adibidez, S = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzi multzoa ℘(S) = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. Potentzi multzoaren kardinala multzoarena baino handiagoa da beti. Multzo baten kardinala n izanez gero, bere potentzi multzoaren kardinala 2n da. Multzoa infinitua baldin bada, bai zenbakigarria bai zenbagaitza, potentzi multzoa infinitu zenbagaitza izango da. Zenbaki arrunten potentzia multzoa bijekzio bidez zenbaki errealen multzoarekin lotu daiteke, esaterako.

[aldatu] Eragiketak

[aldatu] Bilketa

A eta B-ren bildura

A eta B bi multzok osatzen duten bildura A-renak diren edota B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da, A ∪ B bezala adierazten dena.

A \cup B = \{ a\, /\, a \in A\, \mathrm{edo}\, a \in B \}

Bilketa ez da bi multzotara mugatzen, edozein multzo kopurutan definitu baitaiteke. Hurrengo propietateak betetzen ditu:

  • A ∪ B = B ∪ A
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
  • A ⊆ A ∪ B
  • A ∪ A = A
  • A ∪ ∅ = A
  • Baldin eta soilik baldin A ∪ B = B, orduan A ⊆ B

[aldatu] Ebakidura

A eta B-ren ebakidura

A eta B bi multzoren ebakidura aldi berean A-renak eta B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da, A ∩ B bezala adierazten dena.

A \cap B = \{ a\, /\, a \in A\, \mathrm{eta}\, a \in B \}

Bilketan bezala, ebakidura edozein multzo kopurutan defini daiteke. Hurrengo propietateak betetzen dira:

  • A ∩ B = B ∩ A
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
  • A ∩ B ⊆ A
  • A ∩ A = A
  • A ∩ ∅ = ∅
  • A ⊆ B baldin eta soilik baldin A ∩ B = A

Gainera, bilketa eta ebakiduraren artean propietate distributiboa betetzen da:

  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

[aldatu] Multzo osagarria

B-A multzo osagarri erlatiboa

Bi multzoren arteko kenketa edo multzo osagarri erlatiboa B - A moduan idazten da (edota B ∖ A) eta A-renak ez diren B-ren elementuek osatutako multzoa da:

B \setminus A = B - A = \{ x \in B\, /\, x \notin A \}

A, B eta C hiru multzoren artean hurrengo erlazioak betetzen dira:

  • C ∖ (A ∩ B) = (C ∖ A)∪(C ∖ B)
  • C ∖ (A ∪ B) = (C ∖ A)∩(C ∖ B)
  • C ∖ (B \ A) = (A ∩ C)∪(C ∖ B)
  • (B ∖ A) ∩ C = (B ∩ C) ∖ A = B∩(C ∖ A)
  • (B ∖ A) ∪ C = (B ∪ C) ∖ (A ∖ C)
  • A ∖ A = ∅
  • ∅ ∖ A = ∅
  • A ∖ ∅ = A
A-ren osagarria A' da

Batzuetan, multzoak multzo unibertsal baten barnean har daitezke. Multzo unibertsal horren eta bere azpimultzo baten arteko multzo osagarri erlatiboari multzo osagarria deitzen zaio. Idazkerari dagokionez, U multzo unibertsala baldin bada eta A azpimultzo bat, A-ren osagarria U - A, U ∖ A, ∁UA, A∁ edo A' idazten da. Multzo osagarrien hainbat propietate honakoak dira:

  • A ∪ A' = U
  • A ∩ A' = ∅
  • (A')' = A
  • U' = ∅
  • A ⊆ B baldin bada, orduan B ' ⊆ A'
  • De Morganen legeak
    • (A ∪ B)' = A ' ∩ B'
    • (A ∩ B)' = A ' ∪ B'

Multzo osagarrien eta osagarri erlatiboen artean hurrengoak betetzen dira:

  • A ∖ B = A ∩ B'
  • (A ∖ B)' = A' ∪ B

Ondokoa beti betetzen da:

  • A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)

[aldatu] Biderkadura kartesiarra

A eta B bi multzoren arteko biderkadura kartesiarra, A × B, a eta b elementuek osatzen dituzten (a, b) bikote ordenatuen multzoa da, non a ∈ A eta b ∈ B:

A \times B = \{ (a, b)\, /\, a \in A\, ,\, b \in B \}

Multzoak finituak badira (kardinala finitua baldin bada), biderkadura kartesiarraren kardinala bi kardinalen biderkadura da:

| A \times B | = |A||B|

Biderkadura kartesiarrak propietate hauek betetzen ditu:

  • A × ∅ = ∅
  • A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

[aldatu] Multzo-teoria axiomatikoa

Hasieran, "aldez aurretik definituta dauden objektuen bilkura" definizioa azkar onartu zen, baina azkar asko hainbat oztoporekin topatu zen. Hainbat paradoxa aurkitu ziren, nabarmenenak hurrengo biak izanik:

  • Russell paradoxa: norbera barnean hartzen ez duen multzoen multzoa, hots {x / x multzoa da eta x ∉ x}, ez da existitzen.
  • Cantor paradoxa: multzo guztien multzoa ez da existitzen.

Ia matematika guztia multzo-teoriatik eratorria zegoenez, beharrezkoa zen paradoxa horiek saihestea. Lehen-mailako logika erabiliz multzo-teoria axiomatikoa landu zen, teoria ondo eraikia gelditu zelarik. Hala ere, helburu gehienetarako teoria basikoa nahikoa da.

"http://eu.wikipedia.org/wiki/Multzo"(e)tik eskuratuta