Pendulu

Wikipedia(e)tik

Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Pendulu matematiko baten animazioa, abiadura eta azelerazio bektoreak erakutsiz (v eta A).

Pendulua hagatxo arin edo soka batez puntu finko batera loturiko masa puntuala da. Penduluak era askean oszilatu dezake, normalean masak jasaten duen pisuaren eraginez. Masak indar kontserbakor bat pairatzen du eta bere oreka egoeratik ateratzen denean puntu horren inguruan oszilatuko du etengabe.

Denbora neurtzeko erabil daitezke, eta pendulu erlojuek hala darabilte.

Eduki-taula

[aldatu] Pendulu matematikoa

Punto finko batetik hagatxo arin edo soka baten bidez zintzilikaturik dagoen masa dugu. Marruskadura arbuiatu egiten da, sokaren masa bezala, formalismo matematiko sinplea lortzeko. Pendulua oreka posiziotik ateratzen dugunean plano batean oszilatzen du etengabeko joan-etorrian ondoko ekuazioaren arabera, non m \, partikularen masa, g \, pisuak sortutako azelerazioa, eta \theta \, bertikalarekin sokak osatzen duen angelua:

F=-mg\sin\theta=ma \,

Azelerazioaren adierazpena honela idatz daiteke:

a=l\ddot{\theta}

Beraz bi ekuazioetatik:

\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0

Era honetan higidura ekuazioa lortuta, oszilazio harmonikoaren higiduraren antzekoa dugu, baina \theta \,-ren orez sinua agertzen zaigu. Hala ere hurbilketa egokia da angelu txikietarako, hau da, oszilazioek bertikalarekin ez dutenean 8 gradu baino gehio osatzen, beraz sin\theta \approx \theta. Konponketa hau egin ondoren, oszilazio txikietako pendulu matematikoaren higidura ekuazioa oszilazio harmonikoen itxurakoa dugu:

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0

Oszilazio harmonikoen sistemetako emaitzak ezagututa \frac{g}{l}=\omega^2 dela ezagutzen dugu, non \omega \, abiadura angeluarra dugun. Beraz definizioak erabilita periodoa lortuko dugu:

T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Hurbilketa onean pendulu matematikoaren periodoa oszilazio txikiak egiterakoan osziladore harmonikoen berdinak dira. Esan behar da oszilazioen anplitudea ez denean txikia ezin dela sin\theta\approx\theta egin, eta beraz ondorengo adierazpena genuke:

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[1+\frac{1}{16}\theta_0^2+\frac{11}{3072}\theta_0^4+...]

Argi dago \theta_0 \, txikia denean 1aren ondorengo gaiak arbuiagarriak direla eta aurreko emaitza lortzen dela.


[aldatu] Pendulu fisikoa

Pendulu fisikoa, ardatz horizontal batetik esekita dagoen solido zurrunari deritzo. Kanpo indar bezala, adibidez, pisua pairatzen du eta bere grabitate-zentrotik biraketa ardatzera b distantzia dago. Inongo marruskadurarik ez dagoela suposatuko dugu. OX \, ardatza bertikalean eta beherantz hautatuko dugu, eta biraketa ardatzari OZ \, deituko diogu. Momentu angeluarra eta indar momentuen Z \, ardatzeko proiekzioak kalkulatuko ditugu:

L_z=I\dot{\theta}=mK^2\dot{\theta}

N_z=-mgb\sin\theta \,

non b esekidura distantzia den, m solidoaren masa eta K biraketa erradioa K=\sqrt{\frac{I}{m}} definitzen delarik. Hortaz N_z=\dot{L_z}, eta honela idatziko dugu higidura ekuazioa:

\ddot{\theta}+\frac{gb}{K^2}\sin\theta=0

Oszilazio txikien hurbilketa planteatzen badugu (\sin\theta\simeq\theta) higidura ekuazioa honela geratzen da:

\ddot{\theta}+\frac{gb}{K^2}\theta=0

Hots, oszilatzaile harmonikoaren ekuazioaren antzekoa den adierazpena lortzen da. Beraz bere periodoa hurbilketak onartuz hau izanen da:

T=2\pi\frac{K}{\sqrt{gb}}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgb}}

Pendulu matematikoaren luzera baliokideak honelako itxura dauka l=\frac{K^2}{b}. Birakaeta ardatzaren eta masa zentroaren inguruko biraketa erradioen arteko erlazioa honela dela frogatu daiteke Steiner-en teorema erabilita zuzenean:

K^2=K^{*2}+b^2 \,

[aldatu] Erreferentziak

[aldatu] Ikus, gainera

"http://eu.wikipedia.org/wiki/Pendulu"(e)tik eskuratuta