Pi (zenbakia)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Pi zenbakiaren ikurra.
Artikulu hau zenbakiari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Pi (greko)».

Pialfabeto grekoko letrarekin idazten dena) zenbaki bat da. Transkripzio batzuetan p moduan agertzen da.

Matematikatan eta Geometrian zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko harremana da. Zenbaki irrazional bat da, hau da:

  • Ez da p/q zatiki moduan lortzen.
  • Ez da inongo erroketatik eratortzen.
  • Ez da inongo zenbaki osodun espresio aljebraikotik lortzen.

π 1 erradioa duen zirkulu baten azalera moduan defini daiteke. Era berean sin (x) = 0 funtzioan x-ren baliorik baxuena da.

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

π duten formulak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometrian:

Probabilitatean:

  • Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
  • 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
  • Buffonen Orratza: ausaz, airera, orratz bat botatzen badugu, L luzerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probabilitatea Lπ/2D da.

Analisi matematikoan:

 \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Leibnizen Formula)
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (Wallisen produktua)
 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2} (Euler)
 e^{\pi i} + 1 = 0\; (Eulerren identitatea, "Munduko Formularik Garrantzitsuena" moduen ezaguna)
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Stirlingen Formula)


 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} Ramanujan


Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
 \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}

(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)

π hurbilketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

πren irrazionaltasuna dela eta kalkuluak gerturatzen ahalik eta zehatzenekin egin behar da, baina beti hurbilketekin. Normalki 3,14 edo 22/7 baloreak hartzen dira, benetako baloretik % 0,05 baino ez dira urruntzen. Fisikan eta ingeniaritzan 3,1416 erabili ohi da (edo 3,14159) zirkunferentzia batean zehaztasuna lortzeko.

π: 355/113 zatikia ere askotan erabiltzen da eta lehenengo 7 zenbakietan bat egiten du.

πrantz egin diren hurbilketa historiko batzuk:

Urtea Matematikaria edo dokumentua Hurbilketa Errorea

(zatiak milioika)

~1650 adC Ahmeseko Papiroa (Egipto) ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 adC Susako taula (Babilonia) 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 adC Biblian (Erregeak I, 7,23) 3 45070 ppm
~500 adC Bandhayana (India) 3,09 16422 ppm
~250 adC Arkimedes 3 10/71 eta 3 1/7 artean

211875/67441 ~ 3,14163

402 ppm

13,45 ppm

~200 Ptolomeo 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
260 Liu Hui (Txina) 3,1416 2,34 ppm
263 Wang Fau 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chung Huing (Txina) 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Tsu Chung-Chi (Txina) 3,1415926 eta 3,1415929 artean

355/113 ~ 3,1415929 erabiliz

<0,078 ppm

0,085 ppm

~500 Aryabhatta 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
1220 Fibonacci 3,141818 72,73 ppm
Urtea Aurkitzailea Erabilitako ordenagailua Zifra dezimalen kopurua
1949 G.W. Reitwiesner eta beste batzuk ENIAC 2.037
1955   MORC 3.089
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967   CDC 6600 500.000
1973 Guillord eta Bouyer CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi eta Kanada FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud   2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada eta Tamura HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo eta beste batzuk NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada eta Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Chudnovsky Anaiak CRAY-2 eta IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Chudnovsky Anaiak IBM 3090 1.011.196.691
1991 Chudnovsky Anaiak   2.260.000.000
1994 Chudnovsky Anaiak   4.044.000.000
1995 Kanada eta Takahashi [1] HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada eta Takahashi [2] Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada eta Takahashi [3] Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada eta Takahashi [4] Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada eta beste batzuk [5] Hitachi SR8000/MP 1.240.000.000.000

π geometrikoki hurbilduz[aldatu | aldatu iturburu kodea]

πren balorea modu geometriko batean kalkulatzea erraza da. Berez Greziarrak πren balioa kalkulatzen saiatu ziren erregela eta konpasa erabiliz, arrakastarik gabe. Greziarren arazoak, zirkuluaren koadratura edo berdina dena edozein zirkuluren azalera berdina duen karratu bat lortzeak πren balio zehatza jakitea dakar..

π erregela eta konpas batekin kalkulatzea ezinezkoa zela behin demostratuta, hainbat metodo sortu ziren nahiko zehatz kalkulatu ahal izateko. Bi soluzio horietako hoberenak Kochanskik (erregela eta konpasarekin) eta Marcheronik (konpasa baino ez) asmatu zituzten..

Kochanskiren metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kochanskiren metodoa

Frogapena (R = 1)

 BC^2=AB^2+(3-DA)^2

 OF= \frac{\sqrt{3}}{2}

 \frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3}

Lehenengo formulan aldatuz:

 BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533...

Mascheroniren metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Mascheroniren metodoa

Frogapena (R = 1)

AD=AC=\sqrt{3}  OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}

 BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}

ABEB' Kuadrillateroaren Ptolomeoren teorema dela eta:

 BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'

 2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399...


Lehen 1000 hamartarrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Bitxikeriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Martxoaren 14ean Pi eguna ospatzen dute askok, data begiratuz 3-14 baita, hau da 3,14 = Pi.

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Pi (zenbakia) Aldatu lotura Wikidatan