Progresio aritmetiko

Lau zenbaki progresio aritmetikoan.

Matematikan, $a_n\,$ zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, $d=a_n-a_{n-1}\,$ alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, $a_1=3\,$ izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko $a_1+a_2+\cdots+a_n\,$ erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:

$a_n=a_1+(n-1)d\,$

Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:

$a_n=a_m+(n-m)d\,$

Serie aritmetiko baten batura

Serie aritmetiko baten lehenengo $n\,$ batura formula honen arabera kalkula daiteke:

$S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.$

Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik $a_1=3, \ a_n=87, \ d=2,\ n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{87-3}{2}+1=43\,$ ditugula:

$S_a{43;3,2}=\frac{43 \times (3+87)}{2}=1935$

Frogapena

$S_a(n;a_1,d)\,$ batuketa bi eratara eginez:

$S_a(n;a_1,d)=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_a(n;a_1,d)=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:

$S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$

$\ 2S_a(n;a_1,d)=n(a_1+a_n).$

Eta hortik:

$S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$