Progresio aritmetiko

Wikipedia(e)tik
Serie aritmetiko» orritik birbideratua)
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Lau zenbaki progresio aritmetikoan.

Matematikan, a_n\, zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, d=a_n-a_{n-1}\, alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, a_1=3\, izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko a_1+a_2+\cdots+a_n\, erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:


a_n=a_1+(n-1)d\,


Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:


a_n=a_m+(n-m)d\,


Serie aritmetiko baten batura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Serie aritmetiko baten lehenengo n\, batura formula honen arabera kalkula daiteke:


 S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.


Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik a_1=3, \ a_n=87,  \ d=2,\ n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{87-3}{2}+1=43\, ditugula:


 S_a{43;3,2}=\frac{43 \times (3+87)}{2}=1935

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

S_a(n;a_1,d)\, batuketa bi eratara eginez:


 S_a(n;a_1,d)=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_a(n;a_1,d)=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.


Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:


 S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}
\ 2S_a(n;a_1,d)=n(a_1+a_n).


Eta hortik:

 S_a(n;a_1,d)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}