Aldakuntza (konbinatoria)

1-2-3-4-5 elementuak aukeran, 3 elementuko aldakuntza arruntak. 5 zifra horietatik 3 elementuak aukeratu ondoren, ordena posible guztiak zehaztu behar dira, aldakuntza guztien zerrenda osatzeko.

Konbinatorian, aldakuntzak n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko erak dira, aukeratutako elementuen ordena kontuan hartuz. Aukeraketan elementuak ezin badira errepikatu, aldakuntza arruntak sortzen dira; aukeratutako elementuak errepikatzen ahal badira, errepikapenezko aldakuntzak edo errepikatuzko aldakuntzak izango dira. Adibidez, (1,2,3) elementuen binakako aldakuntza arruntak (12,21,13,31,23,32) dira eta (12,21,13,31,23,32,11,22,33) errepikapenezkoak.

Aldakuntzen kopurua

Aldakuntza arruntak

n elementuko multzo batean, k-nakako aldakuntza arrunten kopurua honela kalkulatzen da:

$A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)={\dfrac {n!}{(n-k)!}}$

Adibidez, 3 elementuko multzo batetik 2 elementuko aldakuntzak osatzeko era kopurua hau izango da:

$A_{3}^{2}={\dfrac {3!}{(3-2)!}}=6$

Konbinatorian ohizkoa den biderkaketa erregela erabiliz, aise ulertzen da formula: aldakuntzaren lehenengo elementua n eratara aukera daiteke, bigarrena (n-1) eratara (elementuak errepika ezin daitezkeenez, lehenengoa baztertuz), ...; eta horrela aldakuntza osatzeko guztizko era kopurua :$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)$ izango da.

Aldakuntza arruntek honako erlazio hau dute koefiziente binomialekin:

${n \choose k}={\dfrac {A_{n}^{k}}{k!}}$

Izan ere, aldakuntza arruntetan ordena kontuan hartzen denez, ordena kontuan hartzen ez duten koefiziente binomial edo konbinazioen kopurua lortzeko k elementuak ordenatzeko era kopuruaz, k!-z alegia, zatitu behar da.

Errepikapenezko aldakuntzak

n elementuko multzo batean, k-nakako errepikatuzko aldakuntzen kopurua honela kalkulatzen da:

$EA_{n}^{k}=n^{k}$

Arestiko adibidean, 3 elementuko multzotik 2 elementuko errepikatuzko aldakuntzen kopurua, multzo ordenatuak elementuak errepikatu daitezkeela alegia, hau da:

$EA_{3}^{2}=3^{2}=9$.

Formula erraz ulertzen da, errepikatuzko aldakuntzak diren k-koteetan, leku bakoitzean n elementu baitaude aukeran eta horrela, hurrenez hurren biderkatuz $n\cdot n\cdots n=n^{k}$ k-kote izango dira guztira.

Ikus, gainera

• Permutazio

Kanpo loturak

Wikiliburuetan liburu bat dago honi buruz: Multzoak modu ordenatuan osatzen: aldakuntzak