Bézouten identitate

Wikipedia, Entziklopedia askea
Jump to navigation Jump to search

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren eta bi zenbaki oso eta haien zatitzaile komun handiena izanik, honakoa betetzen duten eta bi zenbaki oso existitzen direla:

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bézouten identitateko (, ) zenbakiak (, )-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

eta

eta bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

.

Hortaz, (, ) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (, ) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

.

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez eta bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:


Hortaz, da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (, ) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:


Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: eta .

Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. baliorako, adibidez, honako beste (, ) koefiziente-parea lortuko dugu:

.


Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

.


Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. (Frantsesez)  Bézout, Étienne (1779) Théorie générale des équations algébrique De l'imprimerie de Ph. D. Pierres . Noiz kontsultatua: 2017-12-22 .

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]