Bézouten identitate

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren $a$ eta $b$ bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1=$ax+by=d$ den.

Era berean, $d=zkh(a,b)$izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

• Alde batetik, baldin eta $n\neq 0$ bada, orduan $zkh(na,nb)=|n|zkh(a,b)$dela .

• Bestalde, $zkh(a/c,b/d)=1$dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura

Bézouten identitateko ($x$, $y$) zenbakiak ($a$, $b$)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta $d=zkh(a,b)$ haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

$|x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|$ eta $|y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|$

$a$ eta $b$ bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

$a(x-kb)+b(y+ka)=ax-kba+by+kba=ax+by$.

Hortaz, ($x$, $y$) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako ($x'$, $y'$) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

$x^{\prime }=x-kb,\qquad y^{\prime }=y+ka$.

Adibidea

Izan bitez $a=502$ eta $b=110$ bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez $(x,y)$ Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den $d=zkh(a,b)$ kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

${\begin{aligned}&502=110(4)+62\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)-110(4)\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)+110(-4)\\&110=62(1)+48\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)-62(1)\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)+62(-1)\\&62=48(1)+14\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)-48(1)\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)+48(-1)\\&48=14(3)+6\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)-14(3)\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)+14(-3)\\&14=6(2)+2\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)-6(2)\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)+6(-2)\end{aligned}}$

Hortaz, $zkh(502,110)=2$ da. Hondarrak atzera ordezkatuz, ($x$, $y$) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

${\begin{aligned}2&=502(x)+100(y)\\2&=14(1)+6(-2)\\&=[62(1)+48(-1)](1)+[48(1)+14(-3)](-2)\\&=[62(1)+48(-1)]+[48(-2)+14(6)]\\&=62(1)+48(-3)+14(6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(1)+62(-1)](-3)+[62(1)+48(-1)](6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(-3)+62(3)]+[62(6)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)+62(9)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)]+[502(9)+110(-36)+[110(-6)+62(-6)]]\\&=[502(10)+110(-49)+62(6)]\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(1)+110(-4)](6)\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(6)+110(-24)]\\&=502(16)+110(-73)\end{aligned}}$

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: $x=16$ eta $y=-73$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ($ax+by=d$) betetzen dela:

$502(16)+110(-73)=2$.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. $k=1$ baliorako, adibidez, honako beste ($x'$, $y'$) koefiziente-parea lortuko dugu:

$x^{\prime }=x-kb=16-110=-94,\,\qquad y^{\prime }=y+ka=-73+502=429$.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ($ax+by=zkh(a,b)$) betetzen dela:

$502(-94)+110(429)=2$.

Kanpo estekak

• EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
• (Ingelesez) Online calculator of Bézout's identity.
• Wolfram MathWorld, Bézout's identity

• Datuak: Q513028