Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren eta bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1= den.
Era berean, izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:
- Alde batetik, baldin eta bada, orduan dela .
- Bestalde, dela ziurtatzen du.
Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.
Bézouten identitateko (, ) zenbakiak (,
)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:
- eta
eta bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.
Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,
- .
Hortaz, (, ) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (, ) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.
- .
Izan bitez eta bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:
Hortaz, da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (, ) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:
Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: eta .
Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:
- .
Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. baliorako, adibidez, honako beste (, ) koefiziente-parea lortuko dugu:
- .
Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:
- .