Edukira joan

Bézouten identitate

Wikipedia, Entziklopedia askea

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren eta bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1= den.

Era berean, izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

  • Alde batetik, baldin eta bada, orduan dela .
  • Bestalde, dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bézouten identitateko (, ) zenbakiak (, )-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

eta

eta bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

.

Hortaz, (, ) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (, ) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

.

Izan bitez eta bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:


Hortaz, da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (, ) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:


Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: eta .

Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. baliorako, adibidez, honako beste (, ) koefiziente-parea lortuko dugu:

.


Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

.


Erreferentziak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  1. (Frantsesez) Bézout, Étienne. (1779). Théorie générale des équations algébrique. De l'imprimerie de Ph. D. Pierres (Noiz kontsultatua: 2017-12-22).

Kanpo estekak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]