Batezbesteko aritmetiko sinple

Batezbesteko aritmetiko sinplea estatistikan maiz erabiltzen den batezbesteko eta zentro neurri bat da. Batezbesteko gisa, datu-multzo baten batezbesteko aritmetiko sinplearen inguruan biltzen dira datu guztiak, datuen gutxi gorabeherako zentro-joera bat emanez. Beraz, bere helburua, datu guztiak balio bakar batez adierazi edo ordeztea da .

Adibidez, ikasle batek bi azterketetan lortutako kalifikazioak 6 eta 8 izan badira, kalifikazioen batezbesteko aritmetiko sinplea 7 da (kalifikazioak batuz eta kalifikazio kopuruaz zatituz: (6+8)/2=7) eta, beraz, kalifikazio orokorra 7 dela esan daiteke.

Zentro-joerarako neurri eta batezbesteko guztietan gehien erabiltzen den neurria da, bere kalkuluaren erraztasunagatik eta esanahiaren argitasunagatik. Hori dela, batezbesteko aritmetiko sinplea esan ordez, besterik gabe batezbesteko esan ohi da bera aipatzean. Egunerokoan, aplikazio zabalak dituen neurria da: ikasle batek azterketa ezberdinetan lorturiko batezbesteko kalifikazioa lortzeko, azterketa batean ikasle zenbaitek lorturiko kalifikazioen batezbestekoa kalkulatzeko, hil ezberdinetan zehar hileko kontsumitu den batezbesteko argindar-kopurua emateko, denda batean egunero batezbestez zenbat saltzen den zenbatesteko, futbol jokalari batek partidu bakoitzean zenbat gol egiten dituen jakiteko, ... Datuetarako kalkulatzeaz gainera, probabilitate-banakuntza eta bestelako objektu matematikoetarako ere erabil daitekeen neurria da, baina kasu hauetan kalkulurako erabili behar den prozedura ezberdina dela kontuan hartu behar da.

Kalkulua lagin baterako

Lagin bateko datuak $x_{1},\ x_{2},\ldots ,\ x_{n}$ izanik, honela izendatu eta kalkulatzen da batezbesteko aritmetiko sinplea:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

Hau da, batezbesteko aritmetiko sinplea kalkulatzeko, eskuartean dauden datuak batu eta datu kopuruaz zatitu behar da. Batura egin ahal izateko, datuak fenomeno berari buruzkoak izan behar dira (adibidez ikasleen kalifikazioak, jokalari batek partidu ezberdinetan sartu dituen gol-kopuruak, denda bateko salmentak egunez egun).

Datu bakoitza zenbait aldiz errepikatu eta maiztasun taula batean bilduta agertzen direnean, formula honi jarraiki kalkulatzen da:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}$

Datuak tartean bilduta agertzen direnean, tarte bakoitzeko erdipuntua hartu eta arestiko formula erabiltzen da. Kasu honetan, ordea, errore bat sortzen da tarteko datu guztiak tarteko erdipuntuaz ordeztean, baina datuak tartean uniformeki banatzen badira, erroreak konpentsatu eta hurbilketa jatorriko datuen batezbesteko aritmetikoaren oso gertu izango dela ziurta daiteke.

Egoera batzuetan, azkenik, datuen batura edo guztirakoa ematen da zuzenean, elementu kopuruarekin batera. Batezbesteko aritmetiko sinplea kalkulatzeko guztirakoa zati elementu kopurua egiten da. Adibidez, 10 denda dituen enpresa bateko salmentak 200.000 eurokoak izan badira, dendako batezbesteko salmenta 200.000/10=20.000 eurokoa izango da. 100 egunetan 20000 euroko salmentak izan badira, eguneko batez besteko salmenta 20000/100= 200 eurokoa izan da.

Adibideak

Datu isolatuak

Adibidez, 5 ikasleren kalifikazioak 4-5-3-7-6 badira (puntutan), hau izango batezbesteko aritmetiko bakuna:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}={\frac {4+5+3+7+6}{5}}=5$

Beraz, ikasleek oro har eta batezbeste 5 puntu izan dutela adierazi behar da.

Pausoz pauso eginez:

Ikasle   Kalifikazioa
 1           4              ·Lehendabizi, kalifikazioak batu:
 2           5                    4+5+3+7+6=25
 3           3              ·Ondoren, datuen batura ikasle kopuruaz zatitzen da:
 4           7                    25/5=5
 5           6              ·Batez besteko kalifikazioa 5 puntu da.

Datuak maiztasun-tauletan

Datuak errepikatzen direnean ere, datu guzti guztiak batu behar dira. Hau da, datuak dira batu beharrekoak eta ez aldagaiak hartzen dituen balio ezberdinak. Adibidez, 2 ikaslek 5, 3 ikaslek 6 eta ikasle batek 8 lortu badute, ikasleen batezbesteko kalifikazioa hau da:

${\overline {x}}={\frac {5+5+6+6+6+8}{6}}={\frac {2\times 5+3\times 6+1\times 8}{6}}=6$

Zuzenean maiztasun-taula hartzen bada, lehenengo bi zutabeetan, honela egin daitezke kalkuluak modu ordenatuagoan hirugarren zutabe bat osatuz:

xi(balioak)	ni(maiztasunak)	nixi
5	2	10
6	3	18
8	1	8
baturak	6	36

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}={\frac {36}{6}}=6$

Datuak tartetan

Datuak tartetan agertzen direnean, lehenengo bi zutabeetan bezala, non lan bat egiteko pertsona ezberdinek behar izan dituzten denborak agertzen diren minututuan (40 minutura arte), tarteko erdipuntua hartu eta maiztasun-taula bat balitz bezala jokatzen da, baina emaitza jatorriko datuen batezbestekoaren hurbilketa izango da:

tartea	ni(maiztasunak)	xi(balioak)	nixi
0-10	2	5	10
10-20	3	15	45
20-30	4	25	100
30-40	1	35	35
baturak	10		190

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}={\frac {190}{10}}=19$

Lana egiteko pertsona batek behar duen batezbesteko denbora 19 minutu da.

Ezaugarriak

Bere abantailen artean, kalkuluaren erraztasuna eta esanahi argia aipatu behar dira. Bere adierazpen matematikoaren sinpletasunak gainera garapen matematiko sakonagoa ahalbideratzen du. Bere kalkuluan datu guztiak haztapen edo pisu kontuan hartzen ditu, datu guztiei garrantzi berdina emanez. Hau, ordea, eragozpen bat izan daiteke egoera batzuetan, adibidez ondasun ezberdinen prezio-igoera batezbestekoa kalkulatzean, prezio batzuen igoera, dagozkien produktua gehiago kontsumitzean, garrantzi handiagokoa izan baitaiteke. Datuei pisu ezberdina eman behar zaienean, batezbesteko aritmetiko haztatua erabili behar da, batezbesteko aritmetiko sinplearen ordez.

Eragozpen nagusi moduan, muturreko datuekiko jasankorra ez dela aipatu behar da, muturreko datuek batezbesteko aritmetiko sinplearen emaitzan eragin handia dutela alegia. Adibidez, datuak 2-2-2-2-22 izanik, batezbesteko aritmetiko sinplearen balioa 6 da eta argi dago 6 balioa ez dela datu multzo osoaren adierazgarri: arrazoia 22 datua da, oso handia denez, batezbesteko aritmetiko sinplea goruntz baitarama.

Batezbesteko aritmetiko sinplea zenbatesle gisa

Populazio baterako, batezbesteko aritmetiko sinplea balio ezezagun interesgarria izaten da, populazio osoa balio bakar batean laburbiltzen duen balioa baita. Kasu honetan, batezbesteko aritmetiko sinplea parametroa dela esaten da. Populazio bateko batezbesteko aritmetiko sinplea zenbatesteko, lagin bat aukeratu eta lagin-datuen batezbesteko aritmetiko sinplea erabil daiteke. Bereizi behar dira, beraz, populazio bateko batezbesteko aritmetiko sinplea (itxaropen matematiko izenez ere ezagutzen dena), μ (mu) hizki grekoaz, adierazi ohi dena, eta lagin-datuen batezbesteko aritmetiko sinplea, ${\overline {x}}$ ohiko ikurraz adierazten dena: ${\overline {x}}$ lagin-batezbestekoa μ populazio-batezbestekoa zenbatesteko erabiltzen da edota ${\overline {x}}$ zenbatesle gisa erabiltzen dela esaten da. Zenbatespenaren fidagarritasuna edo lagin-batezbestekoaren kalkuluan jaso beharreko datu-kopuruaren zehaztapena inferentzia izeneko arlo estatistikoari dagokio.

Populazioaren batezbestekoaren zenbatesle gisa, batezbesteko aritmetiko sinplea zenbatesle alboragabea da populazio batezbestekoari buruz:

$E[{\overline {x}}]=\mu$

Bere bariantza hau da, n lagin tamaina eta $\sigma ^{2}$ populazio-bariantza izanik:

$\sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

Hau da, zenbat eta datu gehiago jaso, batezbesteko aritmetikoaren balioak orduan eta gutxiago aldatu dira populazio-batezbestekoaren inguruan, balio fidagarriagoak emanez.

Konfiantza-tarteak

Populazio-batezbestekoari buruzko konfiantza-tartea honela osatzen da batezbesteko aritmetiko sinplean oinarriturik, populazio normaletarako eta $\sigma$ populazioaren desbidazio estandarra ezezaguna denean:

${\overline {x}}-t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\hat {s}}{n}}<\mu <{\overline {x}}+t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\hat {s}}{n}}$

Lagin-tamaina handia denean (n>30), Studenten t banakuntzaren ordez banakuntza normala erabil daiteke:

${\overline {x}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{n}}<\mu <{\overline {x}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{n}}$

Bi kasuetan ezezaguna den populazioaren desbidazioa ${\hat {s}}$ quasi-bariantzaren bitartez zenbatesten da.

Bestelako populazioetarako batezbesteko aritmetiko sinpleak banakuntza konplexuagoa erakusten du eta konfiantza-tarteen eraketa oso zaila da, baina lagin tamaina handia denean, 30 baino handiagoa gutxi gorabehera, azken formulari jarraiki egin daiteke, limitearen teorema zentralari esker.

Ikus, gainera

• Batezbestekoen arteko erlazioa
• Batezbesteko pitagoratar