Probabilitate-banaketa

Banakuntza normal izeneko probabilitate banakuntza jarraitua, tarte ezberdinetako probabilitateekin batera.

Probabilitate teorian eta estatistikan, probabilitate banakuntza batek zorizko aldagai batek har ditzakeen balioak, balio hauei dagokien probabilitateekin batera, ezartzen ditu. Probabilitate banakuntza diskretuak eta jarraiak izan daitezke. Diskretua edo jarraitua den, probabilitate banakuntza era ezberdinetan definitzen da.

Probabilitate banakuntza diskretuak

Probabilitate banakuntza diskretuetan, zorizko aldagaiak balio kopuru jakinak, finitua edo ez, edo hartzen du. Adibidez, seiko bat jaurtitakoan suertatutako puntu kopurua (1,2,3,4,5,6), puntu kopuru bakoitzeko probabilitateekin batera, probabilitate banakuntza diskretua da. 6 zenbakia atera arte beharrezko jaurtiketa kopuruaren probabilitate banakuntza ere diskretua da, baina hartzen duen balio kopurua infinitua da (1,2,3,...).

Probabilitate banakuntza diskretuak probabilitate funtzioaren edo banaketa funtzioaren bitartez definitzen dira.

Probabilitate banakuntza diskretu bateko probabilitate funtzioaren irudizko adierazpidea: balio posibleak (1,3,7) dagozkien probabilitateekin batera agertzen dira.

Probabilitate funtzioaren bitartez zorizko aldagaiaren x balioaren probabilitatea x balioa probabilitate funtzioan ordeztuz kalkulatzen da zuzenean. Adibidez, makina batek egun batean duen matxura kopuruak probabilitate funtzio honi jarraitzen diolarik:

$P[X=x]={\frac {x+1}{10}}\ ,\ \ x=0,1,2,3\ ,$

2 matxura izateko probabilitatea honela kalkulatzen da:

$P[X=2]={\frac {2+1}{10}}=0.3\ \ .$

Probabilitate funtzioak taula baten bitartez ere irudika daitezke, zutabean batean zorizko aldagaiak hartzen dituen balioak eta bestean balio hauen probabilitateak ezarriz.

Banaketa funtzioak balio batetik beherako probabilitateak, balio hori barne, ematen ditu:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)\,\ \ .$

Adibidez, zoriz aukeraturiko ikasle batek 3 irakasgai dituen ikasturte batean gainditzen duen irakasgai kopuruak banaketa funtzio jarraitzen badio:

Probabilitate banakuntza diskretu bateko banaketa funtzioa: 0 baliotik abiatu eta 1 balioan bukatzen dela ohartu behar da.

$F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\0.1&:\ 0\leq x<1\\0.4&:\ 1\leq x<2\\1&:\ x\geq 2.\end{cases}}$

Horrela, irakasgai bat edo gutxiago izateko probabilitatea hau izango da:

$P(X\leq 1)=F_{X}(x=1)=0.4\ \ .$

Probabilitate funtzioa bezalaxe, taula batean ere irudika daiteke banaketa funtzioa.

Banaketa funtzioa probabilitate funtziotik eratortzen da eta alderantziz: bata ezaguturik, bestea eman daiteke.

Probabilitate banakuntza jarraituak

Probabilitate banakuntza jarraituetan zorizko aldagaiak tarte bateko balio guztiak hartzen ditu. Adibidez, osagai baten iraupenak $[0,\infty )\,$ bitarteko balio guztiak har ditzake teorian. Probabilitate banakuntza jarraituak trinkotasun funtzioaren bitartez edo banaketa funtzioaren bitartez definitzen dira.

Trinkotasun funtzioek ez dute zorizko aldagaiaren x balio bat ordezkatuz x balio hori gertatzeko probabilitatea. Izan ere, x balio jakin eta zehatz bat gertatzeko probabilitatea 0 baita, tarte batean infinitu puntu daudelako. Horrela, probabilitate banakuntza jarraituetan tarteetako probabilitateak bakarrik kalkulatzen dira. Trinkotasun funtzioaren bilakaera probabilitatea zorizko aldagaiaren izate eremuan nola banatzen den azaltzen du.

Trinkotasun funtzio hauetan, x balioak zenbat eta handiago, tartetan emanda betiere, x balioa suertatzeko probabilitatea orduan eta txikiagoa da.

Adibidez, osagai baten iraupena trinkotasun funtzio honi jarraituz banatzen dela ezartzen bada:

$f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ ;\ \ x>0$

Trinkotasun funtzioa beherakorra denez, iraupen handiek, tartetan, gertatzeko probabilitate txikiagoa dute, $\lambda \,$ parametro guztietarako.

Banaketa funtzioek, berriz, balio jakin batetik beherako probabilitatea adierazten dute (balio jakin hori barne zein kanpo, aipatu bezala balio bateko probabilitatea 0 baita, probabilitate banakuntza jarraituetan). Adibidez, aurreko trinkotasun funtzioari dagokion banaketa funtzioa hau da:

$F_{X}(x)=P(X<x)=1-e^{-\lambda x}\ ;\ \ x>0$

Trinkotasun funtzioa jakinda, banaketa funtzioa erator daiteke eta alderantziz.