Banaketa binomial: berrikuspenen arteko aldeak

← Aurreko ezberdintasuna Hurrengo ezberdintasuna →

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia

Lerroan

15:06, 27 martxoa 2013ko berrikusketa

Probabilitate teorian, banakuntza binomiala bai edo ezmotako emaitzak (arrakasta edo porrota ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, Bernoulli prozesu batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren probabilitate banakuntza da. Adibidez, dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banakuntza binomiala erabiltzen da^{[ohar 1]}. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira n saiakuntza kopurua eta p aldi bakoitzean arrakasta suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, B(n,p) adierazten da labur banakuntza binomiala. Aplikazioei dagokienean, zorizko laginketa itzuleradunean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banakuntza binomiala froga binomiala burutzeko erabiltzen da.

Definizioa eta ezaugarriak

Probabilitate-funtzioa

Banakuntza binomiala, labur $\scriptstyle B(n,p)$ adierazten dena, probabilitate funtzio honi jarraiki banatzen den probabilitate banakuntza da, n saiakuntzako Bernoulli prozesu batean, x arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, p saiakuntza bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea eta $\scriptstyle {n \choose x}$ koefiziente binomiala izanik:^{[ohar 2]}:

P(X=x;n,p)={n \choose x}p^{x}q^{n-x}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\ \ ;\ \ x=0,1,2,\ldots ,n

Adibidez, seiko baten 8 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua $\scriptstyle B(n=8,p=1/6)$ banatzen da eta 8 jaurtiketa horietan 2 zenbakia hiru aldiz agertzeko probabilitatea honela kalkulatzen da:

P(X=3;8,1/6)={\frac {8!}{3!5!}}{\Bigg (}{\frac {1}{6}}{\Bigg )}^{3}{\Bigg (}{\frac {5}{6}}{\Bigg )}^{5}=0.1041

Itxaropen matematikoa

B(n,p) banakuntza binomialaren itxaropen matematikoa edo batezbestekoa hau da:

E[X]=np

Bariantza

B(n,p) banakuntza binomialaren bariantza hau da:

$var[X]=npq$

Moda

Moda (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. m=(n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 balioak dira orduan moda.

Erlazioa beste banakuntzekin

Bernoulliren banakuntza banakuntza binomial bat besterik ez da, n=1 izanik:

b(p):=B{\big (}1,p{\big )}

Banakuntza binomiala ugalkorra da, p parametroa konstantea bada:

X\sim B{\big (}m,p{\big )};\ Y\sim B(n,p)\rightarrow X+Y\sim B(m+n,p)

De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banakuntza binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banakuntza normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:

B(n,p)\approx N{\big (}\mu =np,\ \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}{\big )}

Banakuntza binomiala Poissonen banakuntzara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banakuntza bateko hurbilketa gisa λ= np parametroko Poissonen banakuntza erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada. Hurbilketa n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehatza dela esan daiteke, edo baita ere n ≥ 100 eta np ≤ 10 balioetarako.

Oharrak

↑ Ohartarazi behar da arrakasta edo porrot izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, arraskata eta ondorioz p probabilitatea duen emaitza akastuna da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.
↑ Ez edo porrota suertatzeko probabilitatea q=1-p ere adierazi ohi da.

Kanpo loturak

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Banaketa binomial

[1] Ohartarazi behar da arrakasta edo porrot izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, arraskata eta ondorioz p probabilitatea duen emaitza akastuna da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.

[2] Ez edo porrota suertatzeko probabilitatea q=1-p ere adierazi ohi da.

[ohar 1]

[ohar 2]

@@ 7. lerroa: / 7. lerroa: @@
 === Probabilitate-funtzioa ===
-Banakuntza binomiala, labur <math>\scriptstyle B(n,p)</math> adierazten dena, [[probabilitate funtzio]] honi jarraiki banatzen den [[probabilitate banakuntza]] da, ''n'' saiakuntzako [[Bernoulli prozesu]] batean, ''x'' arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, ''p'' saiakuntza bakoitzean ''arrakasta'' izateko probabilitatea izanik:<ref group=ohar>''Ez'' edo ''porrota'' suertatzeko probabilitatea ''q=1-p'' ere adierazi ohi da.</ref>:
+Banakuntza binomiala, labur <math>\scriptstyle B(n,p)</math> adierazten dena, [[probabilitate funtzio]] honi jarraiki banatzen den [[probabilitate banakuntza]] da, ''n'' saiakuntzako [[Bernoulli prozesu]] batean, ''x'' arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, ''p'' saiakuntza bakoitzean ''arrakasta'' izateko probabilitatea eta <math>\scriptstyle {n \choose x}</math> [[koefiziente binomial]]a izanik:<ref group=ohar>''Ez'' edo ''porrota'' suertatzeko probabilitatea ''q=1-p'' ere adierazi ohi da.</ref>:
 ::<math>P(X = x;n,p) = {n\choose x}p^xq^{n-x}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^x(1-p)^{n-x}\ \ ; \ \ x=0,1,2,\ldots,n</math>