|<math>\scriptstyle Y \sim B(n,p)</math> banakuntza <math>\scriptstyle X_i \sim B(n,p)</math> motako ''n'' banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena ''p'' denez:
|<math>\scriptstyle Y \sim B(n,p)</math> banakuntza <math>\scriptstyle X_i \sim b(p)</math> motako ''n'' banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena ''p'' denez:
18:15, 7 apirila 2013ko berrikusketa
Probabilitate teorian, banakuntza binomialabai edo ez motako emaitzak (arrakasta edo porrota ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, Bernoulli prozesu batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren probabilitate banakuntza da. Adibidez, dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banakuntza binomiala erabiltzen da[ohar 1]. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira n saiakuntza kopurua eta p aldi bakoitzean arrakasta suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, B(n,p) adierazten da labur banakuntza binomiala. Aplikazioei dagokienean, zorizko laginketa itzuleradunean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banakuntza binomiala froga binomiala burutzeko erabiltzen da.
Adibidez, dado baten 4 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua banatzen da. 4 jaurtiketa horietan 2 zenbakia hiru aldiz agertzeko probabilitatea honela kalkulatzen da, aldi bakoitzean 2 zenbakia suertatzeko probabilittea 1/6=0.166 izanik:
Horrela, 4 aldietatik hirutan 2 suertatzea nahiko zaila dela ondoriozta daiteke, 4 jaurtiketako segida guztietatik %1.54tan soilik gertatuko baita.
Banakuntza binomialaren formula jakin gabe ere aise kalkula daiteke eskatutako probabilitatea eta gainera, horrela eginez formularen jatorria atzeman daiteke:
Adibidez, dado baten 60 jaurtiketetan suertatzen diren 1 puntuazioen kopurua banatzen da, eta ondorioz 1 puntuazioen batez besteko kopurua np=60×(1/6)=10 da.
Frogapen luzea
Jarraian frogapen luzea egiten da itxaropen matematikoaren definizioa eta Newtonen binomioa erabiliz:
Frogapen sinplea
banakuntza motako n banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena p denez:
banakuntza motako nBernoulliren banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren bariantza pq denez:
Moda
Moda, probabilitate handieneko balio moduan definitzen dena, (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. (n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 bi balioak dira probabilitate handienekoak.
B(n,p) banakuntza binomiala p parametroko n Bernoulliren banakuntzen batura da:
Banakuntza binomiala batukortasunez egonkorra da, p parametroa konstantea bada; hots, p parametroko banakuntza binomial bi edo gehiagoren batura p banakuntza binomial bati jarraiki banatzen da:
De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banakuntza binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banakuntza normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:
Banakuntza binomiala Poissonen banakuntzara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banakuntza bateko hurbilketa gisa λ=np parametroko Poissonen banakuntza erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada:
n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehaztasun onargarriko hurbilketatzat jo ohi da.
Oharrak
↑Ohartarazi behar da arrakasta edo porrot izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, arraskata eta ondorioz p probabilitatea duen emaitza akastuna da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.
↑Ez edo porrota suertatzeko probabilitatea q=1-p ere adierazi ohi da.