Modus tollendo tollens

Modus tollendo tollens (latinez: "ukatuz ukatzen duen modua", modus tollens, atzekariaren ukapenaren legea edo kontrajartze-legea bezala ezagutua) baliozko argudio-forma eta inferentzia-erregela da logika proposizionalean. Adierazpen bat baliozkoa bada, bere kontrajartzea ere badela dioen egia orokorraren aplikazioa da. Modus tollendo tollens erregelaren historiak antzinaroraino egiten du atzera. Modus tollendo tollens erregela esplizituki azaltzen lehenak estoikoak izan ziren.

Modus tollendo tollens inferentzia-erregelak ezartzen du lehen baieztapen batek bigarren bat inplikatzen badu, eta bigarrena ez bada egiazkoa, lehenak ezin duela egiazkoa izan inferitu daitekeela. Hau da, $P$-k $Q$ inplikatzen badu, eta $Q$ ez bada egiazkoa, orduan $P$ ere ez da egiazkoa.

Hori era formalean honela adieraz daiteke:

${\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}$

non $P\to Q$-k esan nahi duen “P-k inplikatzen du Q” eta $\neg Q$-k esan nahi duen “ez da Q-ren kasua” (edo, laburrago, “ez Q”). Orduan, bai “$P\to Q$” eta bai “$\neg Q$” frogapen batean lerro gisa agertzen badira, “$\neg P$” era baliozkoan jar dezakegu ondorengo lerro batean.

Hona hemen modus tollendo tollens-en adibide bat:

Euririk ari badu, antzokiaren barruan itxarongo dizut.

Ez naiz antzokiaren barruan itxaroten ari.

Beraz, ez du euririk ari.

Notazio Formala

Modus tollendo tollens-en erregela era desberdinetan idatz daiteke.

Modus tollendo tollens subsiguiente notazioan

$P\to Q,\neg Q\vdash \neg P$

$\vdash$ sinbolo metalogikarra da eta $\neg P$, $P\to Q$-en eta $\neg Q$-en ondorio sintaktikoa da sistema logiko batean.

Modus tollendo tollens tautologia egia-funtzionalen baieztapen bezala

Notazio honi logika proposizionalaren teorema ere deitzen dio eta honela idazten da:

$((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P$

non $P$ eta $Q$ sistema formalen batean adierazitako proposamenak dira.

Modus tollendo tollens suposizioak sartuz

Honela idazten da:

${\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}$.

Erregela honek ez duenez suposizio multzoa aldatzen, ez da behar beharrezkoa.

Idazte konplexuagoak

Askotan, berridazketa konplexuagoak daude barruan modus tollendo dutenak, adibidez, multzoen terian.

$P\subseteq Q$

$x\notin Q$

$\therefore x\notin P$

("P, Qren azpimultzoa da. x ez dago Qn, beraz x ez dago Pn)

Lehen ordenako predikatu logikan ere.

$\forall x:~P(x)\to Q(x)$

$\exists x:~\neg Q(x)$

$\therefore \exists x:~\neg P(x)$

("x guztietarako, x P baldin bada, orduan x Q da. Badago x bat ez dena Q, beraz, baita ere dago x bat ez dena P")

Zentzu zehatzean ez du tratatzen tollendo modus-en eskaritik. Baina Modus tollendo tollens erabiliz desbideratu ahal izango dira neurri gehigarri batzuk erabilita.

Azalpena

Argudioak bi premisa ditu. Lehen premisa baldintzazkoa edo “baldin-orduan” motako adierazpena da. Adibidez, baldin P orduan Q. Bigarren premisa da ez dela Q-ren kasua (“ez Q”). Bi premisa horietatik abiatuta logikoki ondorioztatu daiteke ez dela P-ren kasua (“ez P”).

Adibidez:

P1: Atari-txakurrak sarkin bat antzematen badu, atari-txakurrak zaunka egiten du.

P2: Atari-txakurrak ez zuen zaunka egin.

O: Beraz, atari-txakurrak ez zuen sarkinik antzeman.

Premisak egiazkoak direla suposatuta (txakurrak sarkin bat antzematen badu zaunka egiten du, eta ez du zaunka egin), ondorioztatzen da ez dela sarkinik antzeman. Baliozko argumentua da, ez baita posible ondorioa faltsua izatea premisak egiazkoak badira. (Baliteke txakurrak antzeman ez duen sarkin bat egon izana, baina horrek ez du argumentua baliogabetzen; lehen premisa “txakurrak sarkin bat antzematen badu” da). Gertaera garrantzitsua txakurrak sarkina antzematen duen ala ez da, ez existitzen den ala ez.

Beste adibide bat:

P1: Ni aizkoraren hiltzailea banaiz, orduan aizkora bat erabil dezaket.

P2: Ezin dut aizkora bat erabili.

O: Beraz, ni ez naiz aizkoraren hiltzailea.