Baliokidetasun-erlazio

5 elementuko multzo batean posible diren 52 baliokidetasun-erlazioen matrize logikoak; eremu koloredunek batekoa eta eremu txuriek zerokoa adierazten dutelarik.

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek $A$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra da.

Definizioa

$A$ multzo ez huts bat eta ${\mathcal {R}}$ erlazio bitar bat emanik, ${\mathcal {R}}$ balikoidetasun erlazioa izango da, baldin eta soilik baldin honako propietate hauek betetzen baditu:

• Bihurkorra da, hau da, $A$ multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik dago.

$\forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x$

• Simetrikoa da, $A$ multzoko $x$ elementu bat multzoko beste $y$ elementu batekin erlazionaturik egonik, $y$ ere $x$-rekin erlazionaturik egonez.

$\forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x$

• Iragankorra da: $A$ multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta dago:

$\forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z$

Idazkera

$A$ multzoko $x$ eta $y$-ren arteko baliokidetasun-erlazioa $a\sim b$ edo $a\equiv b$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta $a\sim _{R}b$, $a\equiv _{R}b$ edo $a{\mathcal {R}}b$, hala ez bada.

$A$ multzoan ezarritako $\sim$ baliokidetasun-erlazioa, $(A,\sim )\,$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean $x\equiv y(mod{\mathcal {R}})$ ($x$ baliokide $y$ modulu ${\mathcal {R}}$) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea

${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu $A$ multzoan. $x\in A$ elementua emanik, $x$-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako klase hau definitzen dute:

$[x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}$

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Adibideak

Baliokidetasun erlazioa eta klaseak

$\lbrace a,b,c\rbrace$ multzoan $\lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace$ erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}$

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa $\{\{a\},\{b,c\}\}$ da.

Baliokidetasun erlazioak

• Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
• Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
• Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
• Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
• Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
• Berdintza matematikoa.