Funtzio harmoniko

Funtzio harmonikoa

Matematiketan, n aldagaietako funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio bi baldintza betetzen baditu:

1. D-ren gainean lehengo eta bigarren ordeneko deribatuak jarraiak izatea .
2. Laplace-ren ekuazioa betetzea.

Hau da,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

Aurretik adierazitako ekuazioa, $\nabla ^{2}f=0$ edo $\ \Delta f=0.$ bezala idatzi ohi da.

Terminologia

"Funtzio harmoniko" terminoaren erabilera funtzio hauek izendatzeko ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, lotura honen jatorria, matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago.

Harmoniko terminoa, mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioari deritzo. Mugimendu honen ekuazio diferentzialarentzako soluzioa, sinu eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke, honen ondorioz funtzio hauei (sinu eta kosinuari)"harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan baino dimentsioak igoz, harmoniko esferikoak definitu ahal ditugu. Funtzio hauek, funtzio harmonikoak definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren. Geroztik, baldintza hauek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.

Adibideak

Aldagai erreal batekin lan egiten badugu, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinu eta kosinuen arteko konbinazioa linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hemen zenbait adibide aurkezten dira:

Bi aldagaiko funtzio harmonikoak

• Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria
• $R^{2}-{0}$ eremuan definituta dagoen $f(x,y)=ln(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ funtzioa.

Loturak analisi konplexuarekin

(ikusi: analisi konpexua)

Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria funtzio harmonikoak dira. Honen ondorio zuzena edozein funtzio holomorfok, Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela da. Egoera honetan harmoniko konjokatuak direla esaten da.

Funtzio harmonikoen propietateak

Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondorioztatu daitezke.

Funtzio harmonikoen erregulartasun teorema

Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera funtzio analitikoak dira.

Maximoaren printzipioa

Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:

Izan bitez $K$ $D$-ren edozein azpimultzo trinko eta $f$ edozein funtzio harmoniko. Orduan $f$ funtzioak bere maximo eta minimoak $K$-ren mugan izango ditu.

Gainera $D$ konexua bada, $f$-k ezin ditu maximo edo minimo lokalik eduki, $f$ funtzio konstantea ez den bitartean.

Batez besteko aritmetikoaren teorema

Izan bitez $B(x,r)\subset D$,hau da, $D$-n sartuta dagoen, zentroa $x$-n eta erradioa $r$, dituen bola eta f funtzio harmonikoa. Orduan f(x) funtzioaren balioa bolaren zentroan, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batez bestekotik abiatuta zehaztu dezakegu:

$u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\oint _{\partial B(x,r)}u\,dS={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

non $\omega _{n}$unitate bolaren azalera den.

Liouville-ren teorema

Baldin eta f funtzio harmonikoa Rⁿ osoan definituta eta bornatua badago, orduan f funtzio konstantea da.

Orokortzeak

Funtzio harmonikoak gainazaletan

Funtzio harmonikoak zorizko Riemann-en gainazal batean definitu daitezke, Laplace-Beltrami-ren eragilea Δ erabiliz. Testuinguru honetan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: $\ \Delta f=0.$

Ikus, gainera

Laplace-ren ekuazioa

Beroaren ekuazioa