Funtzio harmoniko: berrikuspenen arteko aldeak
No edit summary |
No edit summary |
||
1. lerroa: | 1. lerroa: | ||
= Funtzio harmonikoa = |
= Funtzio harmonikoa = |
||
[[Matematika|Matematiketan]], n |
[[Matematika|Matematiketan]], n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio bi baldintza betetzen baditu: |
||
# D-ren gainean lehengo eta bigarren ordeneko [[Deribatu|deribatua]]<nowiki/>k jarraiak izatea . |
# D-ren gainean lehengo eta bigarren ordeneko [[Deribatu|deribatua]]<nowiki/>k jarraiak izatea . |
||
13. lerroa: | 13. lerroa: | ||
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 </math> |
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 </math> |
||
Aurretik |
Aurretik adierazitakoa ekuazioa, <math>\nabla^2 f = 0</math> edo <math>\ \Delta f = 0</math> bezala idatzi ohi da. |
||
== Terminologia == |
== Terminologia == |
||
19. lerroa: | 19. lerroa: | ||
"Funtzio harmoniko" terminoaren erabilera funtzio hauek izendatzeko ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, lotura honen jatorria, matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago. |
"Funtzio harmoniko" terminoaren erabilera funtzio hauek izendatzeko ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, lotura honen jatorria, matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago. |
||
Harmoniko terminoa, [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioari deritzo. Mugimendu honen ekuazio diferentzialarentzako soluzioa, [[sinu]] eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke, honen ondorioz funtzio hauei (sinu eta kosinuari)"harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan baino dimentsioak igoz, [[harmoniko |
Harmoniko terminoa, [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioari deritzo. Mugimendu honen ekuazio diferentzialarentzako soluzioa, [[sinu]] eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke, honen ondorioz funtzio hauei (sinu eta kosinuari)"harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan baino dimentsioak igoz, hau da, 2 ordez 3 dimentsioetako uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Funtzio hauek, funtzio harmonikoak definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren. Geroztik, baldintza hauek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie. |
||
[[Fitxategi:Rotating spherical harmonics.gif|thumb|Harmoniko esferikoen irudikapena.]] |
|||
== Adibideak == |
== Adibideak == |
16:41, 14 azaroa 2018ko berrikusketa
Funtzio harmonikoa
Matematiketan, n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio bi baldintza betetzen baditu:
- D-ren gainean lehengo eta bigarren ordeneko deribatuak jarraiak izatea .
- Laplace-ren ekuazioa betetzea.
Hau da,
Aurretik adierazitakoa ekuazioa, edo bezala idatzi ohi da.
Terminologia
"Funtzio harmoniko" terminoaren erabilera funtzio hauek izendatzeko ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, lotura honen jatorria, matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago.
Harmoniko terminoa, mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioari deritzo. Mugimendu honen ekuazio diferentzialarentzako soluzioa, sinu eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke, honen ondorioz funtzio hauei (sinu eta kosinuari)"harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan baino dimentsioak igoz, hau da, 2 ordez 3 dimentsioetako uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak harmoniko esferikoen funtzioak izango dira. Funtzio hauek, funtzio harmonikoak definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren. Geroztik, baldintza hauek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
Adibideak
Aldagai erreal batekin lan egiten badugu, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinu eta kosinuen arteko konbinazioa linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hemen zenbait adibide aurkezten dira:
Bi aldagaiko funtzio harmonikoak
- Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria
- eremuan definituta dagoen funtzioa.
Loturak analisi konplexuarekin
(ikusi: analisi konpexua)
Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria funtzio harmonikoak dira. Honen ondorio zuzena edozein funtzio holomorfok, Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela da. Egoera honetan harmoniko konjokatuak direla esaten da.
Funtzio harmonikoen propietateak
Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondorioztatu daitezke.
Funtzio harmonikoen erregulartasun teorema
Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera funtzio analitikoak dira.
Maximoaren printzipioa
Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:
Izan bitez -ren edozein azpimultzo trinko eta edozein funtzio harmoniko. Orduan funtzioak bere maximo eta minimoak -ren mugan izango ditu.
Gainera konexua bada, -k ezin ditu maximo edo minimo lokalik eduki, funtzio konstantea ez den bitartean.
Batez besteko aritmetikoaren teorema
Izan bitez ,hau da, -n sartuta dagoen, zentroa -n eta erradioa , dituen bola eta f funtzio harmonikoa. Orduan f(x) funtzioaren balioa bolaren zentroan, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batez bestekotik abiatuta zehaztu dezakegu:
non unitate bolaren azalera den.
Liouville-ren teorema
Baldin eta f funtzio harmonikoa Rn osoan definituta eta bornatua badago, orduan f funtzio konstantea da.
Orokortzeak
Funtzio harmonikoak gainazaletan
Funtzio harmonikoak zorizko Riemann-en gainazal batean definitu daitezke, Laplace-Beltrami-ren eragilea Δ erabiliz. Testuinguru honetan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: