Newtonen legeak

Newtonen legeak gorputzen higidura azaltzeko erabiltzen diren hiru printzipio dira. Lege hauen formulazio matematikoa Isaac Newtonek argitaratu zuen 1687.urtean, bere Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica liburuan. Newtonen legeek, Galileoren transformazioekin batera, mekanika klasikoaren oinarria dira. Principia-ren hirugarren liburukian, Newtonek frogatu zuen lege hauek bere grabitazio unibertsalaren legearekin konbinatuz gero, Keplerren legeak ondoriozta eta azaldu daitezkeela.

Newtonen legeak orokorki ezagutzen diren moduan erreferentzia sistema inertzialetan bakarrik aplika daitezke. Erreferentzia sistema ez-inertzialetan, indar errealekin batera indar irudikariak ere kontuan hartu behar dira.

Newtonen lehen legea edo Inertziaren printzipioa

Batzuetan, lege honi Galileoren printzipioa ere deritzo.

«	Edozein partikula abiadura konstantez higituko da berarengan eragiten duen indarrik ez badago.	»
—

Lehenengo legearen arabera, gorputz bat mugimenduan egoteko indar bat aplikatu behar zaio. Beraz, bere hasierako egoera aldatzeko beharrezkoa da indar bat edo indar multzo bat agertzea. Newtonen arabera, mugimenduan dagoen gorputz oro marruskadura edo igurzte indarren menpe dago eta indar horiek gorputzaren geldiaraztea eragiten dute.

Mugimenduan dagoen gorputz bat geldiarazteko bere gain indar bat aplikatu behar da. Pausagunean dagoen gorputz baten abiadura zero izango da, eta horri indar neto bat aplikatuz gero, abiadura aldatuko da.

Newtonen lehenengo legeak geldiuneko egoeraren eta mugimendu zuzen uniformearen arteko baliokidetasuna ezartzen du. Har dezagun S eta S’ erreferentzia- sistema bat, non S’ S-rekiko abiadura konstantez higitzen den. S’ sisteman, pausagunean dagoen partikula baten gain ez badu indar batek eragiten, partikula horrek S’ sistemarekiko geldiunean jarraituko du eta S sistemarekiko mugimendu zuzen uniformean. Sistema horiek erreferentzia-sistema inertzialak dira.

Erreferentzia-sistema inertzialak

Erreferentzia-sistema inertzialak indar garbirik jasaten ez duten gorputzak abiadura konstantez mugitzen direla azaltzeko erabiltzen dira.

Azelerazioa duen erreferentzia-sistema bat ez da inertzia-sistema bat izango. Erreferentzia-sistema ez inertziala izango da.

Adibidez, eskumako irudian ω abiadura konstantez biratzen ari den plataforma bat dugu. Bertan dagoen objektua ardatz birakariari dago lotuta soka batez. Bi behatzaile daude, bat inertziala, plataformatik kanpo dagoena eta bestea, ez inertziala, plataforma gainean dagoena.

• Behatzaile inertziala: Haren ikuspuntutik blokea mugimendu zirkularrean mugitzen da v abiadurarekin eta plataformaren erdirantz azeleratuta dago azelerazio zentripetu batekin. Azelerazio hori sokaren tentsioak eragindako indarragaitik agertuko da.

• Behatzaile ez inertziala: Bere ustez, objektua geldirik dago. Hau da, tentsioa indargabetzen duen itxurazko indar bat ikusten du azelerazio zentripetua desagertzeko. Indar hori $F_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$izan behar da.

Newtonen lehenengo legearen aplikazioa

Demagun soka bati lotuta dagoen bola batek ibilbide zirkular bat jarraituz biratzen duela. Sokak eragindako indar zentripetuaren (tentsioa) ondorioz, masak ibilbide zirkularra jarraituko du. Baina soka apurtuz gero, bolak, ibilbide zuzen bat jarraituko du abiaduraren norabide berean. Apurketaren ondoren bolaren gain eragindako indar garbia 0 izango da, mugimendu zuzen uniformea jasanez.

Newtonen bigarren legea edo Indarraren legea

Newtonen bigarren legea formulatzeko era asko daude, objektu batean eragiten duten indarrak eta objektu horrek duen momentu linealaren aldakuntza erlazionatzen dituelarik. Formulazioetatik lehena, hurrengo hau, mekanika newtondar eta erlatibistan betetzen da:

«	Objektu baten momentu linealaren aldakuntza, gorputz horretan eragiten duten indarren erresultantearen proportzionala da, eta aldakuntza horrek indar erresultantearen noranzkoa izango du.	»
—

Lege hori indarraren kontzeptua kuantifikatzeaz arduratzen da. Gorputz batek jasaten duen azelerazioa, gorputz horren gain eragindako indar garbiarekiko proportzionala izango da. Proportzionaltasun konstantea gorputzaren masa da. Indarra, mugimendu aldaketaren indarraren, aplikatutako indarraren eta gorputz baten abiadura aldaketaren arteko proportzionaltasunaren eragina dela esan daiteke. Matematikoki honela adierazten da.

$${\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}},$$

Masa konstantea bada

Gorputzaren masa konstantea bada, dinamikaren hurrengo ekuazioa aplikatu daiteke. Non m gorputzaren masa konstantea izan behar den.

$F_{erresultantea}=m\cdot \ a$

Gorputz baten gain eragiten duen indar erresultantea eragindako indar guztien arteko batura izango da.

$\textstyle \sum _{F}\displaystyle =m\cdot \ a$

• Gorputz batek jasandako azelerazioa aplikatutako indarrarekiko proportzionala da, eta proportzionaltasun konstantea gorputzaren masa izango da.

• Indar batek baino gehiagok eragiten badute, ekuazio honek indar erresultanteari egiten dio erreferentzia, hau da, indar guztien arteko batuketa bektoriala izango da.
• Osagai intrintsekoak: higidura ez bada zuzena azelerazio bat dagoelako izango da, beraz, indar normal bat ere egongo da ibilbidearekiko norabide perpendikularrean. Abiaduraren norabidean azelerazio bat badago, abiaduraren modulua aldatuko da.
• Indarra eta azelerazioa bektore paraleloak dira, horrek ez du esan nahi abiadura bektorea indarrarekiko paraleloa denik. Ibilbidea ez da zertan aplikatutako indarrarekiko tangentea izan behar.
• Ekuazio hori gorputz guztientzat bete behar da. Gorputz bat baino gehiago eta horien gain aplikatutako indar ezberdinak aztertzen direnean, gorputz bakoitzari eragiten dien indarrak kontuan izan behar dira. Newtonen bigarren legea aplikatuko da gorputz bakoitzaren gain.

Masa konstantea ez bada

Gorputzen masa aldakorra bada, $F=m\cdot \ a$ erlazioa ez da baliagarria izango. Beraz, legea orokortu egin behar da masa aldakorra den sistementzat. Horretarako, magnitude fisiko berri bat definitu behar da, mugimendu kantitatea, p.

$p=m\cdot \ v(1)$

non $m$partikularen masa inertziala eta ${\boldsymbol {v}}$bere abiadura sistema inertzial jakin batekiko diren.

Newtonek bere legea orokortu egin zuen:

$F={\frac {d(m\cdot \ v)}{dt}}$

Lege hori indar kontzeptuaren definizio operazionala da, azelerazioa bakarrik neurtu baitaiteke zuzenean. Era errazago batean eta mekanika newtondarretik irten gabe hurrengo hau esan daiteke:

«

Gorputz baten gain eragiten duen indarra, objektuaren masaren eta azelerazioaren arteko biderkadurarekiko zuzenki proportzionala da.

»

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\qquad ({\mbox{2a}})$$

Bigarren formulazio honek inplizituki definizio bat darama (1) zeinaren arabera momentu lineala masa eta abiaduraren arteko biderkadura den. Baldintza hori ez denez betetzen Einsteinek garaturiko erlatibitate bereziaren teorian, indarraren adierazpenak azelerazioaren funtzioan ikuspegi desberdin bat hartzen du (3):

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\qquad ({\mbox{3}})$$

Newtonen bigarren legearen aplikazioa

Newtonen bigarren legearen aplikazioen artean hurrengokoak nabarmentzen dira:

• Erorketa askea: Altuera jakin batetik objektu bat erortzen uzten denean gertatzen den mugimendua da. Mugimendua aztertzeko koordenatu sistema bat aukeratu behar da. Beheko adibidean, objektu bat geldiunetik erortzen uzten da, baina izan liteke zero ez den beste hasierako abiadura batekin erortzea.

• Pendulu sinplea: O puntutik l luzera duen hari batetik zintzilik m masa duen partikula bat dugu. Partikularen masa mespretxagarria izango da. Partikula θ₀ (hariak bertikalarekin eratzen duen angelua) posiziora desplazatzen bada, eta ondoren askatzen bada, pendulua oszilatzen hasiko da. Penduluak ibilbide zirkular bat deskribatzen du, l erradioa duen zirkunferentzia baten arkua irudikatuz. m masadun partikularen gain bi indarrek eragingo dute, pisuak eta hariaren T tentsioak.

Norabide erradialean Newtonen bigarren legea aplikatuz:

$m.a_{n}=T-mg.cos\theta$

$a_{n}$-k ibilbidearen azelerazio normala adieraziko du. Posizio angeluarrean v abiaduraren balioa ezagutzen bada, hariaren T tentsioa zehaztu daiteke. Pendulua oreka puntutik igarotzen denean, tentsioak balio maximoa izango du.

$T=mg+{\frac {m.v^{2}}{l}}$

Bigarren terminoak indar zentrifugoaren balioa adierazten du. Ibilbidearen muturretan abiadura zero denean, tentsioa, minimoa izango da.

$T=mg.cos\theta$

Norabide tangentzialean:

$m.a_{t}=-mg.sin\theta$

$a_{t}$ibilbidearen azelerazio tangentziala da.

Newtonen hirugarren legea edo akzio-erreakzioaren legea

«	Indar guztiak binaka gertatzen dira, eta bi indar hauek modulu eta norabide berekoak dira, baina aurkako noranzkoa dute	»
—

Hirugarren legea era honetan adierazten da, gorputz batean eragiten duen indar bakoitzeko, gorputz honek indar hori sorrarazi duen gorputzean indar berdina baina aurkako noranzkoduna egingo du. Bi gorputzek elkar eragiten dutenean, lehenengo gorputzak bigarrenean sortutako indarra, bigarren gorputzak lehenagoan sortutako indarraren berdina izango da magnitudean, baina aurkako norantzan.

$F_{12}=-F_{21}$

Hirugarren lege honek matematikoki momentu linealaren kontserbazioaren legea adierazten du. Nahiz eta indarrak moduluz berdinak izan, bi gorputzen azelerazioak ez dira berdinak izango. Masa txikiagoa duen gorputzak azelerazio handiagoa pairatuko du, eta alderantziz, Newtonen bigarren legeak aurresaten duen moduan. Aipatzekoa da baita akzio-erreakziozko bi indarrek bi gorputz desberdinetan eragiten dutela.

Saskibaloiko baloi batek lurra jotzean, saskibaloiak Lurrari eragindako indarra, Lurrak saskibaloiari eragindakoaren berdina da. Dena dela, baloiaren masa askoz txikiagoa denez, Newtonen bigarren legeak baloiak azelerazio askoz handiagoa (Lurrarekin alderatuz gero) izango duela aurresaten du; eta, izatez, ezin da Lurraren higiduran desberdintasunik antzeman, beraren masa askoz handiagoa delako.

Newtonen hirugarren legearen aplikazioak

Akzio-erreakzio indarrak eragiten dituzten adibide batzuk:

• Pertsona batek antzeko pisua duen beste pertsona bat bultzatzen badu, biak mugituko dira abiadura berarekin baina kontrako norantzan.

• Salto egitean lurra beherantz bultzatzen dugu, baina bere masa dela eta ez da mugitzen eta intentsitate berarekin bultzatzen gaitu gorantza.

• Txalupa baten gainean doan pertsona batek arraunarekin ura norabide batean bultzatzen du eta urak, ordea, txalupa kontrako zentzuan bultzatuko du.

• Ibiltzerakoan gure oinekin lurra atzerantz bultzatzen dugu, eta lurrak, ordea, gu aurrerantz bultzatzen gaitu.

• Gainazal batek bere gainean dagoen objektu baten gain eragiten duen erreakzio indarrari indar normala deritzo. Indar normalak gainazalerekiko norabide perpendikularra izango du.

Garrantzia eta baliagarritasuna

Newtonen legeak esperimentu eta behaketen bidez frogatuak izan ziren berrehun urte baino gehiagotan zehar, eta hurbilketa bikainak dira eguneroko behatzen ditugun higiduretako eskala eta abiadurekin erabiliz gero. Newtonen legeek, grabitazio unibertsalaren legea eta kalkuluaren teknika matematikoarekin batera, azalpen kuantitatibo eta batu bat emateko balio izan zuten fenomeno fisiko askoren kasuan.

Einsteinen erlatibitatearen teoriaren arabera, ez dago erreferentzia-sistema pribilegiaturik. Fisikaren legeak erreferentzia-sistema guztietan betetzen dira, baina kasuan kasuko higidura erreferentzia-sistema batekiko neurtu behar da.

Lurreko gainazalean dagoen behatzaile batek ez luke desberdinduko Lurraren erakarpen grabitatorioaren eta suziri baten barruan 9,8 m/s²-ko azelerazioaz mugitzen ari denean pairatuko lukeen inertzia-indarraren artean. Hori dela eta, Newtonen legeak bakarrik dira baliagarriak erreferentzia-sistema inertzialetan. Esan beharra dago Lurraren gainazalak ez duela erreferentzia-sistema inertzial bat definitzen, bere buruarekiko biratzen ari delako eta grabitatea aldakorra delako Lurreko puntu desberdinetan. Hala ere, errotazioa geldoa denez eta grabitatea asko aldatzen ez denez lurraren gainazalaren puntu batetik bestera, Newtonen legeak nahiko hurbilketa ona dira Lurrean. Dena den, erreferentzia-sistema ez-inertzialetan indar irudikari edo inertzia-indarrak kontuan hartu behar dira aipaturiko legeak bete daitezen.

Mekanika kuantikoan indarra, momentu lineala eta posizioa moduko kontzeptuak, egoera kuantikoan eragiten duten eragile linealez definiturik daude; argiaren abiadura baino askoz abiadura txikiagoan; hortaz, eragile hauentzat, Newtonen legeak objektu klasikoentzat bezain zehatzak dira. Argiaren abiaduratik hurbil dauden abiadurarekin, bigarren legeak ${\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}$ forma mantentzen du, zeinak indarra momentu linealaren denborarekiko deribatuaren berdina den, baina, ez da ${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}$ betetzen.

Ikus, gainera

• Isaac Newton
• Mekanika klasikoa