Irudi (matematika): berrikuspenen arteko aldeak

Wikipedia, Entziklopedia askea
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
tNo edit summary
informazioa gehitu
20. lerroa: 20. lerroa:
'''Azpimultzo baten irudia'''
'''Azpimultzo baten irudia'''


<math>A \subseteq X</math> [[Azpimultzo|azpimultzoaren]] irudia <math>f</math>-n, <math>f(A)</math> deitua, <math>Y</math>-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: <ref>{{Erreferentzia|izena=Jennifer|abizena=Bryant|izenburua=Functions with Compact Preimages of Compact Sets|orrialdeak=362–364|abizena2=Kuzmanovich|abizena3=Pavlichenkov|izena2=James|izena3=Andrey|data=1997-12|url=http://dx.doi.org/10.1080/0025570x.1997.11996575|aldizkaria=Mathematics Magazine|alea=5|zenbakia=70|issn=0025-570X|doi=10.1080/0025570x.1997.11996575|sartze-data=2021-11-01}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=T. W.|abizena=Parnaby|izenburua=Paul R. Halmos, Naive Set Theory (Van Nostrand, Princeton, 1960), 26s. 6d.|orrialdeak=159–159|data=1961-06|url=http://dx.doi.org/10.1017/s0013091500002790|aldizkaria=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|alea=3|zenbakia=12|issn=0013-0915|doi=10.1017/s0013091500002790|sartze-data=2021-11-01}}</ref>
<math>A \subseteq X</math> [[Azpimultzo|azpimultzoaren]] irudia <math>f</math>-n, <math>f(A)</math> deitua, <math>Y</math>-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: <ref>{{Erreferentzia|izenburua=5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets|hizkuntza=en|data=2019-11-05|url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MATH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets|aldizkaria=Mathematics LibreTexts|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Halmos, Paul R. 1916-2006|abizena=Verfasser|izenburua=Naive Mengenlehre.|argitaletxea=Vandenhoeck u. Ruprecht|data=1968|url=http://worldcat.org/oclc/1072448936|pmc=1072448936|sartze-data=2021-12-04}}</ref>


<math>f(A)=\{f(x):x \in A\}</math>
<math>f(A)=\{f(x):x \in A\}</math>
28. lerroa: 28. lerroa:
'''Funtzio baten irudia'''
'''Funtzio baten irudia'''


Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren [[Hein|heina]] ere deitua.<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric|abizena=Weisstein|izenburua=Making MathWorld|data=2007-08-07|url=http://dx.doi.org/10.3888/tmj.10.3-3|aldizkaria=The Mathematica Journal|alea=3|zenbakia=10|issn=1097-1610|doi=10.3888/tmj.10.3-3|sartze-data=2021-12-04}}</ref> Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere <math>f</math>-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.
Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren [[Hein|heina]] ere deitua.<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Image|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/Image.html|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2021-12-04}}</ref> Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere <math>f</math>-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.


'''Erlazio bitarretara orokortzea'''
'''Erlazio bitarretara orokortzea'''
36. lerroa: 36. lerroa:
== Aurreirudia ==
== Aurreirudia ==
<math>f</math> <math>X</math>-tik <math>Y</math>-ra doan funtzioa izanda, <math>B\subseteq Y</math> multzoaren aurreirudia, <math>f^{-1} [B]</math> deitua, <math>f^{-1}[B] = \{ x\in X : f (x) \in B \}</math> definitutako <math>X</math>-ren azpimultzoa da.
<math>f</math> <math>X</math>-tik <math>Y</math>-ra doan funtzioa izanda, <math>B\subseteq Y</math> multzoaren aurreirudia, <math>f^{-1} [B]</math> deitua, <math>f^{-1}[B] = \{ x\in X : f (x) \in B \}</math> definitutako <math>X</math>-ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan <math>f^{-1} (B)</math> eta <math>f^{-} (B)</math> erabiltzen dira.<ref>{{Erreferentzia|izena=Szymon|abizena=Dolecki|izenburua=Convergence Foundations of Topology|abizena2=Mynard|izena2=Frédéric|data=2016-07|url=http://dx.doi.org/10.1142/9012|doi=10.1142/9012|sartze-data=2021-12-04}}</ref> Multzo baten aurreirudia <math>f^{-1} [\{B\}]</math> edo <math>f^{-1} [B]</math> da.

Adibidez, <math>f(x) = x^2</math> funtziorako, <math>\{4\}</math>-ren aurreirudia <math>\{-2,2\}</math> izango litzateke. Ez da nahasi behar <math>f^{-1}</math> notazioa erabiltzean aurreirudia [[Alderantzizko funtzio|alderantzizko funtzioarekin]], nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non <math>B</math>-ren aurreirudia <math>f</math>-n, <math>B</math>-ren irudia den <math>f^{-1}</math>-n.

== Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa ==
Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat <ref>{{Erreferentzia|izena=T. S.|abizena=Blyth|izenburua=Lattices and ordered algebraic structures|argitaletxea=Springer|data=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/262677746|isbn=978-1-84628-127-3|pmc=262677746|sartze-data=2021-12-04}}</ref> irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:
'''Geziaren notazioa'''

* <math>f^\rightarrow : P(X) \rightarrow P(Y)</math>, <math>f^\rightarrow = \{f(a) \mid a \in A\}</math>
* <math>f^\leftarrow : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow = \{a \in X \mid f(a) \in B\}</math>

'''Izarren notazioa'''

* <math>f_\star : P(X) \rightarrow P(Y)</math>, <math>f^\rightarrow </math>-ren ordez
* <math>f^\star : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow </math>-ren ordez

'''Beste terminologiak'''

* <math>f[A]</math>-ren ordez <math>f''A</math> ere erabiltzen da. <ref>{{Erreferentzia|izena=Jean E.|abizena=Rubin|izenburua=Set theory for the mathematician|argitaletxea=San Francisco, Holden-Day|data=1967|url=http://archive.org/details/settheoryformath0000rubi|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izenburua=Wayback Machine|data=2018-02-07|url=https://web.archive.org/web/20180207010648/https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf|aldizkaria=web.archive.org|sartze-data=2021-12-04}}</ref>
* Zenbait testuk <math>f</math>-ren irudia <math>f</math>-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita <math>f</math>-ren koeremua adierazteko.

== Adibideak ==
<math>f:\{ 1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}</math> honek definituta: <math>f(x) = \begin{cases} a, & x\text{=1 } \text{bada} \\ a, & x\text{=2 } \text{bada}\\ c, & x\text{=3 } \text{bada.} \end{cases}</math>

<math>\{2,3\}</math> multzoaren irudia <math>f</math>-n <math>f (\{2,3\}) = \{a,c\}</math> da. <math>f</math> funtzioaren irudia <math>\{a,c\}</math> da. <math>a</math>-ren aurreirudia <math>f^{-1} (\{a\}) = \{1,2\}</math> da. <math>\{a,b\}</math>-ren aurreirudia ere <math>f^{-1} (\{a,b\}) = \{1,2\}</math> da eta <math>\{b,d\}</math>-ren aurreirudia [[Multzo huts|multzo hutsa]] da <math>\{ \ \} = \varnothing</math>.





14:58, 4 abendua 2021ko berrikusketa

X abiaburu-multzotik Y multzorako f funtzioaren irudia Y-ren azpimultzoa da.

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

Definizioa

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, funtzio bat da multzotik multzora doana.

Elementu baten irudia

Baldin eta -ren elementua bada, orduan -ren irudia -n, deitua, ordezkatzean -k hartzen duen balioa da. -rako -ren irteera gisa ezagutzen da.

emanda, funtzioak "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non den. Era berean, multzo bat emanda, -k "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non . Aldiz, "-k -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein -ren eremuan bada.

Azpimultzo baten irudia

azpimultzoaren irudia -n, deitua, -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: [1][2]

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, honela idazten da: . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, funtzio bat da zeinen eremua -ren potentzia-multzoa den eta koeremua -ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudia

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua.[3] Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzea

erlazio bitar arbitrarioa bada -n, orduan multzoari -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, multzoari -ren eremua deritzo.

Aurreirudia

-tik -ra doan funtzioa izanda, multzoaren aurreirudia, deitua, definitutako -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan eta erabiltzen dira.[4] Multzo baten aurreirudia edo da.

Adibidez, funtziorako, -ren aurreirudia izango litzateke. Ez da nahasi behar notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non -ren aurreirudia -n, -ren irudia den -n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat [5] irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa: Geziaren notazioa

  • ,
  • ,

Izarren notazioa

  • , -ren ordez
  • , -ren ordez

Beste terminologiak

  • -ren ordez ere erabiltzen da. [6][7]
  • Zenbait testuk -ren irudia -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita -ren koeremua adierazteko.

Adibideak

honek definituta:

multzoaren irudia -n da. funtzioaren irudia da. -ren aurreirudia da. -ren aurreirudia ere da eta -ren aurreirudia multzo hutsa da .


Erreferentziak

  1. (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  2. Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  3. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  4. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology.  doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  5. Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  6. Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  7. «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

Ikus, gainera

Kanpo estekak