Funtzio harmoniko

Matematikan, n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio baldin eta bi baldintza hauek betetzen baditu:

1. D-ren gainean lehenengo eta bigarren ordenako deribatuak jarraituak izatea .
2. Laplace-ren ekuazioa betetzea.

Hau da,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

zeina $\nabla ^{2}f=0$ edo $\ \Delta f=0$ bezala idatzi ohi da.

Terminologia

"Funtzio harmoniko" terminoak ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, matematikaren bilakaera historikoarekin baizik.

Harmoniko terminoa mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritze. Mugimendu harmonikoaren ekuazio diferentzialaren soluzioa sinuen eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke; horren ondorioz, funtzio trigonometriko horiei harmonikoak deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan (hau da, 2 dimentsiotan ez baizik 3tan), uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak harmoniko esferikoen funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoak funtzio harmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen dituztenez, baldintza horiek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.

Harmoniko esferikoen irudikapena.

Adibideak

Aldagai erreal batekin lan egiten bada, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinuen eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hona hemen zenbait adibide:

Bi aldagaiko funtzio harmonikoak

• Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
• $R^{2}-{0}$ eremuan definituta dagoen $f(x,y)=ln(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ funtzioa harmonikoa da.

Analisi konplexuarekiko loturak

(ikusi: analisi konplexua)

Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Horren ondorio zuzena da edozein funtzio holomorfok Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela. Egoera horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.

Funtzio harmonikoen propietateak

Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta daitezke.

Funtzio harmonikoen erregulartasunaren teorema

Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera, funtzio analitikoak dira.

Maximoaren printzipioa

Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:

Izan bitez $K$ $D$-ren edozein azpimultzo trinko eta $f$ edozein funtzio harmoniko. Orduan, $f$ funtzioak bere maximo eta minimoak $K$-ren mugan izango ditu.

Gainera, $D$ konexua bada, $f$-k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, $f$ funtzio konstantea ez den bitartean.

Batezbesteko aritmetikoaren teorema

Izan bitez $B(x,r)\subset D$ (zentroa $x$puntuan eta erradioa $r$luzerakoa dituen eta $D$-n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa. Orduan, f(x) funtzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batezbestekotik abiatuta zehaztu daiteke:

$u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\oint _{\partial B(x,r)}u\,dS={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

non $\omega _{n}$aldagaia unitate bateko erradioa daukan bolaren azalera den.

Liouville-ren teorema

Baldin eta f funtzio harmonikoa Rⁿ osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.

Orokortzeak

Funtzio harmonikoak gainazaletan

Funtzio harmonikoak zorizko Riemann-en gainazal batean defini daitezke, Laplace-Beltrami-ren eragilea Δ erabiliz. Testuinguru horretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: $\ \Delta f=0.$

Ikus, gainera

• Laplace-ren ekuazioa
• Beroaren ekuazioa

Erreferentziak

• L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
• D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
• Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society

Kanpo estekak

• Harmonic Functions Module by John H. Mathews
• Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey

• Datuak: Q599027