Progresio geometriko

Hazkundea geometriko bat: 3 zelulak 2na zelula kutsatzen dute aldi batean; hurrengo aldian, 3×2=6 zelulek 2na zelula kutsatzen dute; horrela, guztira 3, 6, 12, ... zelula kutsatzen dira aldi bakoitzean, segida geometriko bati jarraiki, 3, 3×2=6 ; 3×2²=12. Guztira kutsatutako zelula kopurua serie geometriko bat da: 3+6+12.

Segida mota asko
nahiz sortu mundura
bi garrantzitsuenak
zeintzuk ditugu ba?
aritmetikoan berdin
mantentzen den hura:
gai bat eta aurreko
gaiaren kendura,
ta geometrikoan
aldiz zatidura

Matematikan, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,$ zenbaki segida batek segida geometriko edo progresio geometriko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien zatiketa, $r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}$ alegia, konstante bat denean. $r\,$ konstanteari arrazoi deritzo. Segida geometriko bateko $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$ erako batuketa bati serie geometriko deritzo. Serie aritmetiko-geometrikoak ere badaude, segida geometriko bateko gaien batuketaz kalkulatzen direnak. Serie geometrikoen batura kalkulatzeko integrala ere erabil daiteke, termino orokorra integratuz n parametroari buruz.

Adibidez, honako hau 2 arrazoi duen segida geometrikoa da : 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... Aldi berean, 3+6+12+24+48+96 batuketa serie geometrikoa da.

Segida geometriko baten n-garren gaia formula honi jarraiki kalkulatzen da:

$a_{n}=a_{1}\times r^{n-1}\,$

Serie geometriko baten batura honako formula honen bitartez kalkulatzen da, $a\,$ lehenengo batugaia, $r\,$ arrazoia eta $n\,$ batugai-kopurua izanik:

$S_{g}(n;a,r)=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Adibidez:

$S_{g}(6;3,2)=3+6+12+24+48+96=3\times {\frac {1-2^{6}}{1-2}}=192$

Serie geometriko baten arrazoia baturatik ere kalkula daiteke, batura zati batu egiten den gai kopuua eginez:

$r={\frac {S_{g}(n;a,r)}{n}}$

Historia

Mesopotamiako Garai Dinastiko Goiztiarran egindako buztinezko taulatxo batean, MS 3047, 3 oinarria duen eta 1/2 biderkatzailea duen progresio geometriko bat agertzen da. Uste da Shuruppak hiriko sumertar taula bat zela. Babiloniako matematikako progresio geometrikoaren adibide ezagun bakarra da.

Euklidesen Elementuen VIII eta IX liburuek progresio geometrikoen analisia egiten dute, adibidez biko potentziak, eta hainbat propietate ematen dituzte.

Serie geometrikoaren formularen frogapena

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ segida geometriko baterako bi batuketa hauek definitzen dira:

$S_{g}(n;a,r)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$

$S_{g}(n;a,r)r=a_{1}r+a_{2}r+\cdots +a_{n}r=a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}r\,$

Bi batuketa horien kenketa egiten bada:

$S_{g}(n;a,r)-S_{g}(n;a,r)r=a_{1}-a_{n}r\,$

$S_{g}(n;a,r)(1-r)=a_{1}-a_{1}r^{n-1}r=a_{1}-a_{1}r^{n}=a_{1}(1-r^{n})\,$

$S_{g}(n;a,r)=a_{1}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\,$

Ikus, gainera

• Progresio aritmetiko

Kanpo estekak

• Progresio geometrikoak, Gizapedian.
• 3. DBH. PROGRESIO GEOMETRIKOAK: ARRAZOIA ETA GAI OROKORRA bideoa youtuben.

• Datuak: Q173523