Urrezko zenbakia

Urrezko proportzioa: a + b luzera osoa a zati luzeenarekiko eta a luzera b zati laburrenarekiko berdinak dira.

Urrezko zenbakia matematikako zenbakirik ezagunenetariko bat da, ezagunena ez bada. Baditu beste hainbat izen ere: urrezko proportzioa, zerutiar zenbakia, jainkozko proportzioa eta abar. Zenbaki irrazionala da, eta hortaz ezinezkoa da hamartar guztiak ezagutzea eta askotan lehenengoak jakitearekin nahikoa da bere propietateez baliatzeko.

Hiru zenbaki irrazional famatuetatik (Pi, e eta Fi), azken hau da ekuazio algebraiko batetik ateratzen den bakarra: x² = x + 1 ekuazioaren emaitza positibo bakarra da.

Hau da haren zenbakizko balioa, erradikalen edo hamartarren bidez:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803\,39887\ldots \,$

Aljebraikoki:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

Urrezko zenbakia φ (phi/fi) greziar letrarekin adierazi ohi da. Izen hori Martin Ohm matematikari alemaniarrak jarri zion, Fidias eskultorearen ohorez, Partenoia eraikitzeko erabili omen zuena. Esparru askotan ikusi genezake, esaterako eta batzuk aipatzearren, anatomian, arkitekturan, landareen munduan...

Pizkundetik gutxienez, artista eta arkitekto ugarik urrezko zenbakia erabili dute lanen proportzioak sortzerakoan, batez ere urrezko laukizuzenaren itxura hartuz. Laukizuzen honen bi aldeen arteko proportzioa da urrezkoa, estetikoki atsegina delakoan.

Definizioa

Urrezko zenbakia a eta b zuzenen bi segmentuk (b baino luzeago) elkarren artean duten proportzioaren zenbakizko balioa da, eta erlazio hau betetzen dute:

• Urrezko zenbakia a eta b zuzenen bi segmentuk (b baino luzeago) elkarren artean duten proportzioaren zenbakizko balioa da, eta erlazio hau betetzen dute. Ekuazio aljebraiko gisa idatzia:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

Problema geometriko hau planteatzean sortzen da: segmentu bat beste bitan zatitzean. Hala, luzera osoa segmentu handienarekin zatitzean, segmentu handienaren luzera txikienarekin zatitzean lortzen den emaitza bera lortuko dugu.

Kalkulua

Bitarra	1.1001111000110111011…
Hamartarra	1.6180339887498948482…
Hamaseitarra	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Zatiki jarraitua	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$
aljebraikoa	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Serie matematikoa	${\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}$

Bi kopuru, a eta b urrezko proportzioa betetzen dute baldin eta:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

	1	2
Ekuazioak	${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$	$\varphi ={\frac {a}{b}}$
Sinplifikatuz	$1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}$
Ordezkatuz	$1+\varphi ^{-1}=\varphi$
Biderkatuz $(\varphi )$	$\varphi +1=\varphi ^{2}$
Bakanduz	$\varphi ^{2}-\varphi -1=0$
Emaitza positiboa	$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Ekuazio honek anbiguotasun gabe φ definitzen du.

Eskuineko ekuazioak a = bφ dio, ezkerrera eraman daitekeena:

${\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.$

b-rekin zatituz:

${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .$

Bi aldeak φ hizkiarekin biderkatuz eta aldeak antolatuz:

${\varphi }^{2}-\varphi -1=0.$

Ekuazio koadratiko honen emaitza positibo bakarra hau da:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803\,39887\dots \,$

Urrezko zenbakiaren historia

Zenbait autorek iradokitzen dutenez, K.a. 2000. urtearen inguruan Babiloniako eta Asiriako zenbait hilarriren aldeen proportzioa urrezko zenbakia da. Hala ere, ez dago dokumentazio historikorik adierazten duenik artista horiek nahita erabiltzen zutela urrezko zenbakia hilarriak egiteko. Egitura konplexu bat neurtzen denean, erraza da emaitza bitxiak lortzea, neurri asko izanez gero.

Gainera, urrezko zenbakia badagoela baieztatu ahal izateko, neurriak objektuaren puntu adierazgarrietatik hartu behar dira, baina hori ez da urrezko zenbakiaren presentzia defendatzen duten hipotesi askoren kasua.

Horregatik, Mario Liviok defendatzen du babiloniarrek ez zutela urrezko zenbakia aurkitu.

Antzinaroa

Urrezko zenbakiaren azterketa formala egin zuen lehena Euklides izan zen (K.a. 300 k.a. C-265), eta honela definitu zuen:

"Esaten da zuzen bat muturreko eta arrazoi erdiko ebakia izan dela zuzen osoa segmentu handienera denean, segmentu handiena segmentu txikienera izanik." ( Los elementos 3. definizioa)

Euklidesek, halaber, frogatu zuen zenbaki hori ezin dela deskribatu bi zenbaki osoren arrazoi edo zatiki gisa; hau da, zenbaki irrazionala da.

Platonek (K.a. 428-347) urrezko zenbakia ikertuta izan zezakeen; hala ere, baliteke urrezko zenbakiari lotutako teoremen garapena ematea.

Aro Modernoa

1509an, Luca Pacioli matematikari eta teologo italiarrak De Divina Proportione argitaratu zuen, eta bost arrazoi eman zituen urrezko zenbakia garrantzitsutzat hartzeko:

1. Bakartasuna; Paciolik urrezko zenbakiaren balio bakarra eta Jainkoaren bakartasuna alderatzen ditu.
2. Hiru zuzenbide-segmentuk definitzen dute Pacioli, eta horrek Trinitatearekin lotzen du.
3. Neurrigabetasuna; Pacioliren aburuz, baliokideak dira urrezko zenbakiaren handitasuna eta Jainkoaren handitasuna.
4. Urrezko zenbakiari lotutako autoantzekotasuna; Paciolik Jainkoaren nonahikotasunarekin eta aldaezintasunarekin alderatzen du.
5. Pacioliren arabera, Jainkoak bosgarren esentziaren bidez Unibertsoa izan zuen bezala, dodekaedroak irudikatua, urrezko zenbakia dodekaedroa izan zen.

Urrezko zenbakia matematikan

Propietateak:

Zilar angelua

${\frac {360^{\circ }}{\varphi +{1}}}\approx 137{.}5^{\circ }$

Propietate aritmetikoak

• $\textstyle \varphi =1.618033988749894848204586834365638117720309...$ Zenbaki erreal bakarra da hau betetzen duena:

$\varphi ^{2}=\varphi +1\$

• φ gainera, hurrengo propietate hauek betetzen ditu:

$\varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\$

$\varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}\$

$\varphi ^{2}-{\frac {1}{\varphi }}=2\$

• Urrezko zenbakiaren potentziak zenbaki bereko gradu txikiagoko potentzien baturaren arabera adieraz daitezke, benetako potentzia-segida errepikari bat ezarrita. Kasu sinpleena da: $\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}\,$

Irudikapen trigonometrikoa:

$\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }$

$\varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }$

$\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }$

$\varphi ={\frac {1}{2}}\sec {\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1}{2}}\sec 72^{\circ }$

$\varphi ={\frac {\sin(2\pi /5)}{\sin(1\pi /5)}}\,={\frac {\sin(72^{\circ })}{\sin(36^{\circ })}}$Hain zuzen ere, pentagono erregular baten diagonala (elkarren segidakoak ez diren bi erpinen arteko distantzia) bere aldearen luzera eta pentagraman dauden antzeko beste erlazio batzuen luzera halako da.

Urrezko zenbakia geometrian:

Urrezko zenbakia eta urrezko sekzioa simetria pentagonala duten, pentagonoak diren edo nolabait bosten erro karratua agertzen duten objektu geometriko erregular edo erdi-irregular guztietan daude.

• Pentagonoaren zatien arteko erlazioak.

• Pentagono izartuaren, pentakuluaren edo pentagramaren zatien arteko erlazioak.

• Dekagono zatien arteko harremanak.

• Dodekaedroaren eta ikosaedroaren aldeen arteko harremanak.

Urrezko zenbakia naturan

Urrezko zenbakia erlazionatuta dago:

• Loreen petaloen kokapenarekin,

• Hostoak zurtoin baten banaketarekin.

• Zuhaitzen hostoetako nerbioen arteko erlazioa.

• Adar nagusien lodieraren eta enborraren arteko erlazioa, edo adar nagusien eta bigarren mailakoen artekoa (baten lodiera Φ da, unitate gisa goiko adarra hartuta).

• Anana baten espiralen (zortzi eta hamahiru espiral), loreen edo infloreszentzien kopurua.
• Pertsona baten zilborraren eta oinaren arteko distantzia, haren garaiera osoarekiko.
• Loreetako petalo kopurua. 3, 5 eta 8 petalo dituzten loreak daude, baita 13, 21, 34, 55, 89 eta 144 ere.
• Jukaren hostoen banaketa eta orburu-orrien kokapena.

Ikus, gainera

• Fibonacciren zenbakiak

Kanpo estekak

• «Urrezko zenbakia» artikulua, Zientzia.net webgunean.

• Datuak: Q41690
• Multimedia: Golden ratio / Q41690