Bisekzio-metodoa

Bisekzio-metodoaren zenbait iterazio $[a_{1},b_{1}]$ tartean. Puntu gorria funtzioaren erroa da.

Matematikan, bisekzio-metodoa funtzio baten erroak aurkitzeko metodo bat da. Metodo hau erabili ahal izateko, beharrezkoa da funtzioa jarraitua izatea eta aurkako zeinuko irudia duten bi $x$ zenbaki izatea (hots, aurkako zeinuko bi $y$ balio edukitzea). Metodoa balio horiek definitutako tartea behin eta berriz erdibitzean datza, ondoren funtzioa zeinuz aldatzen den azpitartea aukeratzeko; izan ere, azpitarte horrek erro bat izan beharko du.

Oso metodo sinple eta sendoa da, baina nahiko motela ere bai. Hori dela eta, askotan erabiltzen da erro baten hurbilketa on bat lortzeko; gero, hurbilketa hori finduko da azkarrago konbergitzen duten metodoen bitartez. Existitzen dira helburu bera duten beste metodo batzuk; hauen artean ezagunenetako bat Regula falsi metodoa da.

Metodoa

Metodoa, $x$ aldagai errealerako, $f(x)=0$ ekuazioa ebazteko erabiltzen da, non $f$ $[a,b]$ tarte batean definitutako funtzio jarraitu bat den eta $f(a)$ eta $f(b)$ aurkako zeinukoak diren. Kasu horretan, Bolzanoren teoremaren arabera, $f$ funtzio jarraituak erro bat izan behar du gutxienez $(a,b)$ tartean.

Metodoa urraska aplikatzen da. Urrats edo iterazio bakoitzean, metodoak tartea erdibitzen du, tartearen $c={\frac {a+b}{2}}$  erdiko puntua eta $f(c)$ funtzioaren balioa puntu horretan kalkulatuz. $c$ zenbaki erreala erro bat bada, orduan prozesua amaitzen da. Bestela, bi aukera daude: $f(a)$ eta $f(c)$ aurkako zeinukoak badira, $(a,c)$ tartean erro bat egongo da; aldiz, $f(b)$ eta $f(c)$ badira aurkako zeinukoak, erroa $(c,b)$ tartean egongo da. Metodo honen bidez, hurrengo iterazioan erabiliko den azpitartea kalkulatu da jada, $(a,c)$ edo $(b,c)$ tartea, lehen esan bezala, $f(c)$ zeinuaren araberakoa dena. Horrela, $f$-ren erro bat duen tarte bat erdira murrizten da iterazio bakoitzean. Prozesua errepikatzen jarraitzen da tartea nahiko txikia izan arte, tarte hori lortu eta gero egindako iterazioetan kalkulatzen diren erroen hurbilpenak oso antzekoak baitira.

Esplizituki, f(c)=0 bada, orduan c har daiteke soluziotzat, eta prozesua gelditu egiten da. Bestela, $f(a)$-k eta $f(c)$-k zeinu bera badute,

• orduan, $a=c$  egin behar da hurrengo iteraziorako → $[c,b]$ tartea hartuko da.
• bestela, $b=c$  egin behar da hurrengo iteraziorako → $[a,c]$ tartea hartuko da.

Bi kasuetan, $f(a)$ eta $f(b)$ berriek kontrako zeinua dute; beraz, metodoa tarte txikiago horretan aplika daiteke.

Behin prozesua hasita, tartearen ezkerreko eta eskuineko muturretako zeinuak berdin mantentzen dira iterazio guztietan.

Metodo honetan, $\{P_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ segida bat sortuko da non $P_{n}\rightarrow P$. Iterazioa noiz gelditu behar den zehazteko, finkatutako tolerantzia batekiko $(\epsilon )$ hainbat gelditze-irizpide posible hartu behar dira kontuan $(\epsilon )$. Horretarako lau gelditze-irizpide identifika daitezke:

• Zehaztasun absolutua: $\left|P_{n}-P_{n-1}\right|<\varepsilon$
• Zehaztasun erlatiboa: $\left|{\frac {P_{n}-P_{n-1}}{P_{n}}}\right|<\varepsilon$, $P_{n}\neq 0$
• Zehaztasun maximoa: $f(P_{n})<\epsilon$
• Iterazio kopuru maximoa: $i_{max}$ bat finkatzea

Erroaren balioari buruz ez badakigu ezer, orduan zehaztasun erlatiboa da gelditze-irizpiderik onena.

Iterazio prozesua

Metodorako sarrerak $f$ funtzio jarraitu bat eta $[a,b]$ tarte bat dira, non $f(a)$ eta $f(b)$ irudiek kontrako zeinua duten. Horrek tarte horretan gutxienez funtzioaren erro bat dagoela bermatzen du. Iterazio bakoitzak urrats hauek jarraitzen ditu:

1. $c$ kalkulatu, tartearen erdiko puntua $c={\frac {a+b}{2}}$.
2. Kalkulatu funtzioaren balioa $c$ erdiko puntuan.
3. $f(c)=0$ bada, $c$ da erroa eta amaitu da; bestela jarraitu.
4. Konbergitzen badu, hau da, $\left|{\frac {c-a}{c}}\right|$ nahi bezain txikia bada, $c$ da erroa eta amaitu; bestela jarraitu.
5. $f(a)\cdot f(c)<0$ bada, erroa $[a,c]$ tartean dago. Orduan $a$ ez da aldatzen eta $b=c$ egin hurrengo iterazioan. $f(b)\cdot f(c)<0$ bada, erroa $[c,b]$ tartean dago. Orduan $a=c$ egin eta $b$ berdin mantendu hurrengo iterazioan.

Adibidea

Demagun bisekzio-metodoa erabili nahi dugula polinomio honen erroak aurkitzeko.

$f(x)=x^{3}-x-2.$

Lehenik, aukera ditzagun bi zenbaki, $a$ eta $b$, non $f(a)$ eta $f(b)$ zeinu desberdinekoak diren. Aurreko funtzioaren kasuan, $a=1$ eta $b=2$ aukeratuz honakoa dugu:

$f(1)=(1)^{3}-(1)-2=-2$

eta

$f(2)=(2)^{3}-(2)-2=+4$

Beraz, ikus dezakegu $a$ eta $b$-ren irudien zeinuak kontrakoak direla. Gainera, $f$ funtzioa jarraitua denez, erro bat egongo da $[1,2]$ tartean, bisekzio-metodoaren bidez lor daitekeena:

Iterazioa	$a_{n}$	$b_{n}$	$c_{n}$	$f(c_{n})$
1	1	2	1.5	−0.125
2	1.5	2	1.75	1.6093750
3	1.5	1.75	1.625	0.6660156
4	1.5	1.625	1.5625	0.2521973
5	1.5	1.5625	1.5312500	0.0591125
6	1.5	1.5312500	1.5156250	−0.0340538
7	1.5156250	1.5312500	1.5234375	0.0122504
8	1.5156250	1.5234375	1.5195313	−0.0109712
9	1.5195313	1.5234375	1.5214844	0.0006222
10	1.5195313	1.5214844	1.5205078	−0.0051789
11	1.5205078	1.5214844	1.5209961	−0.0022794
12	1.5209961	1.5214844	1.5212402	−0.0008289
13	1.5212402	1.5214844	1.5213623	−0.0001034
14	1.5213623	1.5214844	1.5214233	0.0002594
15	1.5213623	1.5214233	1.5213928	0.0000780

Taulan bisekzio-metodoaren 15 iterazio ageri dira. Lehen errenkadan ikus daitekeen bezala, hasierako tartea $[1,2]$ da, $a_{1}=1$ eta $b_{1}=2$ izanik. Iterazio bat aplikatuz, erdiko puntua $c_{1}=1.5$ dela lortzen da, bere irudia $f(c_{1})=-0.125$ izanik. Hori dela eta, $f(c_{1})<0$ denez, $f(c_{1})\cdot f(b_{1})<0$ da eta hurrengo iterazioko tartea kalkulatzeko $a_{2}=c_{1}$ hartuko dugu. Hortaz, bigarren iterazioko tartea $[c_{1},b_{1}]=[a_{2},b_{1}]=[1.5,2]$ izango da eta prozesu berdina aplikatuko diogu tarte horri.

13 iterazioren ondoren nabaria da bisekzio-metodoak 1.521 zenbakira konbergitzen duela. Beraz, $f(x)$ funtzioaren $[1,2]$ tarteko erroa 1.521 zenbakitik oso hurbil egongo da.

Abantailak eta desabantailak

Abantailak

Metodo sendoa da, hau da, $f(a)\cdot f(b)<0$ bada, beti lortuko du hurbilpen bat.

Desabantailak

• Metodoa motela da beste batzuekin alderatuta.
• Ez die hurbilpen onei probetxurik ateratzen; izan ere, iterazio batean lortutako hurbilpena aurreko iterazioko hurbilpena baino okerragoa izan daiteke.
• Funtzio jakin batzuetan ezin daiteke aplikatu. Erroa maximo edo minimo erlatibo batean badago, ezin da aplikatu, $f(a)\cdot f(b)>0$ izan baitaiteke nahiz eta erro bat izan barruan.