Cauchyren irizpidea

Cauchyren irizpidea

Cauchyren irizpidea (edo erroaren irizpidea) gai positiboko serieen izaera aztertzeko erabiltzen da. $\sum a_{n}$ gai positiboko seriea bada eta hurrengo limitea existitzen bada:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$

Orduan,

(i) Baldin eta $l<1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea da.

(ii) Baldin eta $l>1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ dibergentea da.

$l=1$ bada ezin da ezer esan $\sum a_{n}$-ren izaerari buruz.

Froga

(i) atalaren froga:

$l<1$ da, eta $\varepsilon ={\frac {1-l}{2}}>0$ hartuz,

$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :$ $\forall n\geq n_{0}$ $\left\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\right\vert <{\frac {1-l}{2}}$

Bi aldeetan $l$ gehituz,

$\forall n\geq n_{0}$ ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<{\frac {1-l}{2}}+l={\frac {1+l}{2}}=q<1\Longrightarrow$

$\forall n\geq n_{0}$ $a_{n}<q^{n}$

Hau da, $\sum a_{n}$ ${\displaystyle \sum q_{n}}$ seriearen serie minorantea da $(\sum a_{n}$$<<{\displaystyle \sum q^{n}})$. Gainera, argi ikusten da ${\displaystyle \sum q_{n}}$ seriea konbergentea dela, $0<q<1$ baita. Bukatzeko, konparazio-irizpidea aplikatuz, $\sum a_{n}$ konbergentea dela ondorioztatzen da.

(ii) atalaren froga:

$l>1$ denez, $l=+\infty$ edo $l\in \mathbb {R}$ izan daiteke.

$l=+\infty$ bada, $M=1$ denean, existitzen da $n_{0}\in \mathbb {N}$ non $n\geq n_{0}$ guztietarako ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ den. Beste era batera esanda, $n\geq n_{0}$ denean $a_{n}>1$ da.

$l\in \mathbb {R}$ bada, $l>1$ izanik, $\epsilon =l-1>0$ hartuz,

$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :$ $\forall n\geq n_{0}$ $\left\vert {\sqrt[{n}]{a_{n}}}-l\right\vert <l-1\Longrightarrow$

$\forall n\geq n_{0}$ ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1-l+l=1\Longrightarrow$

$\forall n\geq n_{0}$ $a_{n}>1$

Beraz, ikusten da existitzen dela $n_{0}\in \mathbb {N}$ non, $n\geq n_{0}$ bada, $a_{n}>1$ den. Ondorioz, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ ez da 0 izango eta $\sum a_{n}$ dibergentea da.

Adibidea

Adibidez, azter dezagun $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}$ seriearen izaera.

$a_{n}={\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}>0$ da $n\in \mathbb {N}$ guztietarako eta, beraz, aplika daiteke Cauchyren irizpidea.

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(2n+1)}}={\frac {1}{2}}<1$

Hau da, $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1$ da eta, ondorioz, Cauchyren irizpidearen arabera, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}$ seriea konbergentea da.