Dibergentzia (matematika)

Dibergentzia, kalkulu bektorialaren adar matematikoan, bektore-eremu baten sartze fluxuaren eta irteera fluxuaren arteko ezberdintasuna neurtzen duen balio eskalar bat da. Ezberdintasun hori bolumen bat inguratzen duen azaleran zehar neurtzen da.

Honela, bolumen horren barnean bektore "iturri" bat baldin badago (bektoreen jatorri bat), dibergentzia positiboa izango da, eta bolumenaren barnean "putzu" bat baldin badago (bektoreak biltzen diren puntu bat), dibergentzia negatiboa izango da. Dibergentziaren balioa zero izango da sartzen den bektore dentsitatea (fluxua) edo neurgai kopurua eta irteten direna berdinak baldin badira.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bektore-eremu bateko puntu baten dibergentzia balio eskalar bat da, eta bolumen unitateko eremu bektorialaren fluxu bezala definitzen da, puntuaren inguruko bolumenak zerorantz jotzen duela suposatuz. ${\vec {F}}$ bektore-eremuaren dibergentzia, beraz, formula honi dagokio:

${\rm {div}}{\vec {F}}=\nabla \cdot {\vec {F}}=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}$

non S bolumen itxi baten azalera den, eta $\nabla$ nabla operadorea den.

Koordenatu kartesiarretan lan eginez gero, dibergentzia honela definitzen da:

$\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Dibergentziaren teorema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Dibergentziaren teoremak (askotan Gaussen teorema ere deitzen dena), dibergentzia eta fluxua erlazionatzen ditu. Zehazki esateko, azalera itxi batean zeharreko eremu bektorial baten fluxua eta azalera horrek mugaturiko bolumenaren barruko dibergentzia eremuaren integrala berdinak direla dio. Teorema hau biziki erabilgarria da jariakinen mekanikaren eta elektrostatikaren arloetan.

Dibergentziaren teorema honela adierazten da:

$\int _{\mathcal {R}}{\mbox{div}}(\mathbf {F} )\ dV=\oint _{\partial {\mathcal {R}}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS$