Bolumen (espazioa)

Neurketa-pitxerra, likidoen bolumena neurtzeko erabiltzen dena.

Bolumena magnitude fisiko bat da, objektu batek espazio fisikoaren hiru dimentsioetan betetzen duen lekua adierazten duena, edo espazioaren beraren parte baten tamaina ordezkatzen duena.

Likidoak edo gasak gordetzeko objektuen kasuan, bolumen kontzeptuarekin erlazionaturik dagoen beste magnitude bat definitu ohi da praktikan, edukiera deritzona, objektuaren barnean gorde daitekeen likido edo gasaren bolumena adierazten duena. Izan ere, botila, katilu edo ontzi baten kasuan interesatzen zaigun magnitudea ez da ontziaren bolumena, barruan gorde daitekeen likidoarena baizik. Horixe da, hain zuzen, ontziaren edukiera.

Bolumenaren izaera

Bolumena magnitude eskalarra da; hortaz, zenbaki bakar batez adierazten da. Baina dimentsioak ditu. Izatez, oinarrizko magnitudea den luzeratik eratorritako magnitude bat da, espazio euklidearreko hiru norabideen (luzera, zabalera eta altuera) biderketa eginez lortzen dena; horregatik, bolumenaren dimentsio-ekuazioa ${\text{L}}^{3}$ da.

Bestalde, magnitude estentsiboa da; alegia, sistema fisiko baten bolumena bere parteen bolumenen batura da. Dena den, ez da magnitude aljebraikoak, ez baitago bolumen negatiborik.

Bolumen-unitateak

Nazioarteko SI sistemako bolumen-unitatea metro kubikoa da, ${\text{m}}^{3}$ sinboloaz adierazten dena. Ontzien edukiera neurtzeko, askotan litro unitatea erabiltzen da, ${\text{L}}$ sinboloa duena, edo baliokidea dena, ${\text{1 L = 1 dm}}^{3}.$ Litroaren eta metro kubikoaren arteko erlazioa honakoa da:

Gari-bolumena neurtzeko lakari unitatea

$${\text{1 m}}^{3}={\text{1000 dm}}^{3}={\text{1000 L}}.$$

Bestelako unitateak ere erabiltzen dira eguneroko bizitzan. Batetik, litroaren azpimultiploak: dezilitroa $({\text{1 dL = 0,1 L}})$, zentilitroa $({\text{1 cL = 0,01 L}})$ eta mililitroa $({\text{1 mL = 0,001 L}})$.

Bestetik, lurralde anglosaxoi batzuetan ohitura dute bestelako unitatean erabiltzeko. Edariekin, esate baterako, pinta (sinboloa ${\text{pt}}$ da) erabiltzen dute, baina unitate horrek balio desberdinak ditu Erresuma Batuan $({\text{0,5683 L}})$ eta Ameriketako Estatu Batuetan $({\text{0,4732 L}}).$ Autoetarako erregaien kasuan AEBn galoi izeneko neurria hartzen dute unitatetzat ${\text{1 gal = 3,783 L}}.$ Eta munduan zeharreko merkataritzan petrolio-kupela erabiltzen da (${\text{159 L}}$ gutxi gorabehera).

Bolumenaren neurketa edo kalkulua

Hiru bektore ez-planokidek osaturiko paralelepipedoa.

Bolumen fisikoa neurtzeko batzuetan unitate txantiloi bereziak erabiltzen dira, bereziki likidoak edo gai xehe lehorrak neurtzeko (aleak, harkoskorrak...).

Matematikan, bereziki geometria euklidestarrean, objektu geometriko baten bolumena kalkulatzeko, planokideak ez diren hiru bektorek $({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})$ osaturiko oinarrizko paralelepipedoaren bolumena kalkulatzen da, eta horretarako, hiru bektore horien biderketa mistoa eginez lortzen da. Esate baterako, alboko irudiko paralelepipedoaren bolumenak balio hau du:

$$V={\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {w}})={\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{vmatrix}}.$$

Beraz, paralelepipedoaren bolumenaren balioa hiru bektoreen osagaiekin osaturiko determinantearena da.

Kalkulu integralaren bidez, koordenatu kartesiarrak erabiliz gero, honelaxe lor daiteke $D$ espazioko eskualdea betetzen duen edozein formatako gorputz geometrikoen bolumena:

$$V=\iiint \limits _{D}{\text{d}}x{\text{d}}y{\text{d}}z.$$

Koordenatu zilindrikoak erabiliz gero, hauxe da formula:

$$V=\iiint \limits _{D}r{\text{d}}r{\text{d}}\theta {\text{d}}z.$$

Eta koordenatu esferikoetan:

$$\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$$

Hainbat gorputzen bolumena

Prismak eta zilindroak

Prisma eta zilindroen bolumena kalkulatzeko formula orokorra $V=Sh$ da, non $S$ oinarriko aurpegiko azalera den eta $h$ altuera; formula horrek berdin balio du prisma edo zilindroa zuzena den ala ez. Bereziki,

• paralelepipedo errektangeluarraren kasuan: $V=Llh,$non $L$ luzera, $l$ zabalera eta $h$ altuera diren,
• eta zilindro zirkularraren kasuan: $V=\pi R^{2}h$da, $R$zilindroaren erradioa izanik, eta $h$ altuera.

Piramideak eta konoak

Piramide eta konoen formula orokorra $V={\frac {1}{3}}Sh$ da.

Biraketa-kono zirkularraren kasuan honelaxe idatz daiteke: $V={\frac {\pi }{3}}R^{2}h.$

Esfera eta elipsoidea

• Esferaren kasuan, $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$ bolumena formulaz kalkula daiteke.
• Elipsoidearen kasuan, $V={\frac {4}{3}}\pi abc$ formula erabiliz, $a,b{\text{ eta }}c$ elipsoidearen ardatzerdiak izanik.

Platonen solidoen bolumenak

Geometria euklidearrean osa daitezkeen bost poliedro erregularrei Platonen solidoak edo solido platonikoak deritze. Poliedro horien aurpegi guztiak poligono erregularrak dira, forma eta tamaina berekoak. Bost poliedro platoniko baino ez daude: tetraedro erregularra (lau aurpegiak triangelu ekilateroak dira), hexaedro erregularra (sei aurpegi karratu; kuboa ere esaten zaio), oktaedro erregularra (zortzi triangelu ekilatero), dodekaedro erregularra (hamabi pentagono erregular), ikosaedro erregularra (hogei triangelu ekilatero). Alboko taulan agertzen dira poliedro horiek, bakoitzaren bolumenaz eta irudiaz osaturik

Poliedro erregularra	Bolumena kalkulatzeko formula	Irudia
tetraedroa	$${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,a^{3}$$
hexaedroa	$$a^{3}$$
oktaedroa	$${\frac {\sqrt {2}}{3}}\,a^{3}$$
dodekaedroa	$${\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\,a^{3}$$
ikosaedroa	$${\frac {5\varphi ^{2}}{6}}\,a^{3}$$ non $\varphi$ sinboloa urrezko zenbakia den

Beste magnitude batzuekiko erlazioa

Gorputz baten dentsitatea masaren eta zati dentsitatearen arteko zatidura da:

$$\rho ={\frac {m}{V}}.$$

Hortaz, hiru magnitude horien arteko erlazioa bi era hauetara ere idatz daiteke:

$$m=\rho V,$$

$$V={\frac {m}{\rho }}.$$

Batzuetan bolumenaren alderantzizko magnitudea erabiltzen da, bolumen espezifikoa, alegia. Honelaxe definitzen da:

$$v={\frac {V}{m}}={\frac {1}{\rho }},$$

eta material baten masa-unitateak betetzen duen bolumena adierazten du. Material bakoitzaren ezaugarria da, masa-kantitateaz menpekotasunik gabea; izan ere, magnitude intentsiboa da.

Erreferentziak

Fisika Orokorra, UEU, 2003, ISBN 84-8438-045-9

Ikus gainera

dentsitate (fisika)

Kanpo estekak

• Datuak: Q39297
• Multimedia: Volumes / Q39297