Einsteinen eremu-ekuazioak

Wikipedia, Entziklopedia askea
Espazio-denboraren deformazioaren analogia bat.

Erlatibitatearen teoria orokorrean Einsteinen eremu-ekuazioak (Einsteinen ekuazio izenez ere ezagutzen direnak) espazio-denboraren geometria eta bertan dagoen materia erlazionatzen dituzte.

Ekuazioak lehenengoz 1915ean argitaratu zituen Einsteinek, tentsore-ekuazio gisa.[1] Ekuazio honetan espazio-denboraren kurbadura lokalaren (Einsteinen tentsorearen bidez adierazia) eta energia eta momentu lokalaren (energia-momentu tentsorearen bidez adierazia) arteko erlazioa agertzen da.[2]

Elektromagnetismoan Maxwellen ekuazioek eremu elektromagnetikoak karga eta korronteen banaketekin lotzen dituzten gisara, Einsteinen ekuazioek espazio-denboraren geometria eta masa-energia eta momentua lotzen dituzte. Beraz, espazio-denborako puntu bateko energia-momentua ezagututa, puntu horretako tentsore metrikoa determinatuta dago. Tentsore metrikoaren eta Einsteinen tentsorearen arteko erlazioa dela eta, Einsteinen ekuazioak deribatu partzialetako ekuazio diferentzial ez-linealen multzo baten bidez adieraz daitezke. Ekuazioen soluzioak tentsore metrikoaren osagaiak dira. Soluzio honetako geometriako erradiazioaren eta partikulen ibilbide inertzialak (geodesikoak) geodesikoen ekuazioarekin kalkula daitezke ondoren.

Energia-momentu lokalaren kontserbazioa inplikatzen du, eta eremu grabitatorio ahula eta abiadura txikiko limitean Newtonen grabitazioaren legea berreskuratzen da.[3]

Einsteinen ekuazioen soluzio zehatzak hurbilketa batzuen pean soilik lor daitezke, simetria esaterako. Zenbait soluzio zehatz fenomeno grabitazionalen ereduak egiteko erabili ohi dira, momentu angeluarra duten zulo beltzak eta unibertsoaren hedapena, besteak beste. Ekuazioak are gehiago sinplifika daitezke espazio-denboraren desbideratzea txikia dela onartuz gero espazio-denbora lauarekin konparatuz gero; Einsteinen ekuazio linealizatuak deritze hauei eta uhin grabitazionalak aztertzeko erabiltzen dira.

Forma matematikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einsteinen eremu-ekuazioak (EEE) honela idatz daitezke:[1][4]

non Einsteinen tentsorea, tentsore metrikoa, energia-momentuaren tentsorea, konstante kosmologikoa eta Einsteinen grabitazio konstentea diren.

Einsteinen tentsorea horrela definitzen da:

non Ricciren kurbadura tentsorea eta kurbadura eskalarra diren. Tentsore honen heina bi da eta tentsore metrikoaren eta bere lehen bi deribatuen menpekotasuna soilik du.

Einsteinen grabitazio konstantearen definizioa honako hau da[5][6]

non grabitazio konstante Newtondarra den eta ,berriz, argiaren hutseko abiadura.

Einsteinen eremu-ekuazioak honela ere idatz daitezke:

Unitate estandarretan ezkerreko termino guztiek moduko unitateak dituzte.

Ezkerreko adierazpenak metrikak zehaztutako espazio-denboraren kurbadura erakusten du; eskuinekoak, ordea, espazio-denboraren energia-momentu edukia determinatzen du. Ekuazio hauek, geodesikoekin batera, erorketa askean dagoen gorputz baten higidura deskribatzen dute espazio-denboran zehar eta Erlatibitate Orokorraren formulazio matematikoaren mamia osatzen dute.[7]

Einsteinen eremu-ekuazioek tentsore ekuazioa osatzen dute 4x4 dimentsioko matrize simetrikoen bidez adierazita. Tentsore bakoitzak 10 osagai independente ditu. Bianchiren lau identitateek osagai independenteen kopurua 10tik 6ra jasiten dute, metrika gaugeak finkatutako lau askatasun gradurekin utziz, koordenatu sistemaren aukeraketa askatasunarekin lotuta.

Ekuazio hauek hasiera batean lau-dimentsiodun teorian formulatuak izan ziren arren, hainbat fisikari teorikok aztertu dituzte haien eraginak n dimentsiotan.[8] Hutseko eremu ekuazioak ( edonon zero denean lorturikoak) Einsteinen barietateak definitzen dituzte.

Zeinu hitzarmena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Goiko EEE adierazpenak Misnerrek, Thornek eta Wheelerrek ezarritakoak dira (MTW).[9] Hauek ordura arteko hitzarmenak aztertu eta sailkatu zituzten hiru zeinutan ([S1][S2][S3]):

Hirugarren zeinua Ricciren tentsorearen zeinu hitzarmenaren hautaketarekin loturik dago.

Definizio hauekin Misner, Thorne eta Wheeler (+++) gisa aldarrikatu ziren, Weinberg (1972), ordea (+ - -)[10], Peebles (1980)[11] eta Efstathiou et al. (1990)[12] (- + +), eta azkenik, Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin eta Squires (1989)[13] eta Peacock (1999)[14] (- + -)ren aldekoak dira.

Egileek, Einstein barne, Ricciren tentsorearentzat zeinu ezberdinak erabili dituzte eta horregatik azaltzen da ekuin aldeko konstantearen zeinua negatibo.

Formulazio baliokideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einsteinen eremu-ekuazioen alde bakoitzeko aztarnak hartuz hau lortzen da:

non espazio-denboraren dimentsioa den. -rentzako ebatziz eta hasierako eremu ekuazioetan txertatuz hurrengo "aztarna alderantzizkatuko" forma baliokidea lortzen da:

D=4 dimentsiok hau horrela murrizten dute:

Aztarna berriz alderantzizkatzeak berriro ere hasierako ekuazioa emango luke. Aztarna alderantzizkatuko forma askotan lagungarria izan daiteke (adibidez, eremu ahuleko limitean).

Konstante kosmologikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einsteinen eremu-ekuazioetan:

Λ konstante kosmologikoa duen terminoa ez zen Einsteinen lehen argitalpenean agertu. Beranduago gehitu zuen Einsteinek berak termino hau hedapen edo uzkurdurarik ez zuen unibertso bat baimendu zezan. Honek bi arrazoirengatik ez zuen arrakastarik izan:

  • ekuazio hauek deskribaturiko soluzio iraunkor guztiak ezegonkorrak ziren, eta
  • Edwin Hubblek egindako neurketek unibertsoa hedatzen ari zela erakusten zuten

Beraz, Einsteinek baztertu zuen, eta George Gamowri “konstante kosmologikoa sartzea bere bizitzako hanka-sartze handiena izan zela” idatzi zion.[15]

Termino hau sartzeak ez du inongo hutsaltasunik sortzen. Urte askoan zehar pentsatu izan da konstante kosmologikoaren balioa zero dela. Hala ere, beranduagoko behaketa astronomikoek erakutsi dute unibertsoa era azeleratuan hedatzen ari dela, eta hau azaltzeko beharrezkoa da positiboa izatea.[16][17] Konstante kosmologikoa arbuiagarria da galaxien tamainako eskaletan eta eskala txikiagoetan, eta gaur egungo kosmologo gehienek gai honek oso txikia izan behar duela, bestela ezin dira teoria newtondarraren arrakastak ulertu.[18]

Einsteinek konstante kosmologikoa parametro independente bat zela uste zuen, baina eremu-ekuazioan berekin doan terminoa algebraikoki berdintzaren beste aldera pasa daiteke, eta energia-momentuaren tentsoreari eransten zaio horrela:

Tentsore honek huts-egoera bat deskribatzen du, non bere energia-dentsitatea eta presio isotropikoa eta diren hurrenez hurren. Konstante hauek ondorengo erlazioa betetzen dute:

non konstanteak SI-eko m−2 unitateak dituen eta κ goian bezala definituta dagoen.

Beraz, konstante kosmologiko bat existitzea, huts-egoeran energiaren bat eta aurkako zeinuko presio bat egotearen baliokidea da. Hau dela eta, “konstante kosmologiko” eta “hutsaren energia” era baliokidean erabiltzen dira erlatibitate orokorrean.

Ezaugarriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Energia eta momentuaren kontserbazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erlatibitate orokorrean energia eta momentu lokala kontserbatu egiten dira:

Kontsarbazio hau baldintza fisiko bat da. Bere eremu-ekuazioekin Einsteinek erlatibitate orokorra kontserbazio honekin bateragarria zela ziurtatu zuen.

Izaera ez-lineala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eremu-ekuazioen izaera ez linealak erlatibitate orokorra beste hainbat oinarrizko teoria fisikotatik aldentzen du. Esate baterako, Maxwellen elektromagnetismorako ekuazioak linealak dira eremu elektriko eta magnetikoarekiko, eta baita karga eta korronte banaketekiko ere; bi soluzioren batura ere ekuazioen soluzioa baita. Beste adibibide bat mekanika kuantikoko Schrödingerren ekuazioa da, lineala baita uhin-funtzioarekiko.

Korrespondentzia printzipioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einstenen ekuazioetatik Newtonen grabitazio unibertsalaren legea berreskuratzen da, eremu ahuleko hurbilketa eta abiadura txikiko hurbilketa eginez. Izan ere, ekuazioetan agertzen den G konstantea bi hurbilketa hauen bidez determinatua da.

Hutseko eremu ekuazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

energia-momentuaren tentsorea zero bada aztertzen ari garen gunean, Einsteinen ekuazioei hutseko eremu-ekuazio ere deitzen zaie. Aztarna alderantzizkatuko eremu-ekuazioetan ezarriz, ekuazioak horrela idatz daitezke:

Eta beraz, konstante kosmologikoa zero ez den kasuetan, ekuazioak ondorengoak dira:

Hutseko eremu-ekuazioen soluzioei hutseko soluzio deritze. Minkowskiren espazio-denbora laua da hutseko soluzioen adibide sinpleena. Beste adibide batzuk dira Schwarzvhild-en soluzioa eta Kerr-en soluzioa.

Barietateak Ricciren tentsorearen arabera sailkatzen dira. betetzen duten barietateak Ricciren barietate lauak dira, eta metrikaren proportzionala denean Einsteinen barietatea dela esaten da.

Einsten-Maxwellen ekuazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Energia-momentu tentsorea hutseko eremu elektromagnetikoarena bada, hots,

,

Einsteinen eremu-ekuazioei Einstein-Maxwell ekuazioak deritze ( konstante kosmogolikoa zero hartuz):

Horrez gain, Maxwellen ekuazio kobarianteak ere erabili daitezke espazio hutserako:

non puntu eta komak deribazio kobariantea adierazten duen, eta taketek anti-simetrizazioa. Lehen ekuazioak 2-formaren 4-dibergentzia zero dela baieztatzen du, eta bigarrenak bere kanpo-deribatua zero dela. Azken honetatik Poicaréren lemma lortzen da, potentzial eremu elektromagnetikoarekin erlazionatuz

non komak deribatu partziala adierazten duen. Hau askotan Maswellen ekuazio kobariantetzat hartzen da.[19] Hala ere, globalki definitu gabeko potentzialak dituzten soluzio globalak egon daitezke.[20]

Soluzioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einsteinen eremu-ekuazioen soluzioak espazio-denboraren metrikak dira. Metrika hauek espazio-denboraren egitura deskribatzen dute, espazio-denboraren barruan mugitzen diren objektu inertzialak kontuan hartuta. Eremu-ekuazioak linealak ez direnez, ezin dira beti analitikoki ebatzi; adibidez, ez da ezagutzen bi gorputz masadun dituen espazio-denborari dagokien ekuazioen soluzio zehatzik (eredu hori izar-sistema binario baten eredu teorikoa izan daiteke, adibidez). Horrelako kasuetan hurbilkekak egin ohi dira, hurbilketa post-Newtondar deitzen zaie. Hala ere, kasu batzuetan posible da ekuazioak zehatz-mehatz ebaztea, eta hauei soluzio zehatz deitzen zaie.

Einsteinen ekuazioen soluzio zehatzen azterketa kosmologiako atal garrantzitsua da. Hauen bidez zulo beltzak aurresan eta unibertsoaren eboluzioaren ereduak egiten dira, besteak beste.

Ricciren tentsorea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ikus, gainera: Ricciren kurbadura tentsorea

Ricciren kurbadura tentsoreak Gregorio Ricci-Curbastro matematikariaren omenez du izen hori. Geometria diferentzialean, Riemannen metrika edo pseudo-Riemannen metrikaren bidez determinatzen de objektu hau, Riemannen kurbadura tentsorearen indizeen kontrakzio bat da. Orokorrean, Ricciren tentsoreak esaten diguna da metrika baten geometria, lokalki, ohiko espazio Euklidear edo pseudo-Euklidear batekin alderatuz zenbateraino den ezberdina. Izan ere, Ricciren tentsorearen behe-mugak luzera funtzionalaren azterketa egiteko erabil daitezke Riemannen geometrian, 1941ean argitaratu zen Mayers-en teoremak erakusten duenez.

Ricciren tentsorea ibilbide geodesikoetan zehar jasandako deformazioaren bidez karakteriza daiteke. Hau dela eta Einsteinen ekuazioek espazio-denbora pseudo-Riemannen metrika baten bidez deskribatu daitekela proposatzen dute, hau da, Ricciren tentsorearen eta unibertsoko materiaren erlazio sinple bat. Analogia eginez, funtzioen analisian Laplacearrak duen paperaren antzekoa du Ricciren tentsoreak Riemannen geometrian.

Interpretazio geometrikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Einsteinen ekuazioaen ondorioz, behatzaile bakoitzarentzat, espazioaren kurbadura eskalarra itxurazko dentsitatearen porportzionala da:

.

Kurbatura eskalar geometrikoaren esanahiaren arabera, adierazpen honek dio masa eta dentsitate konstantedun esfera batean gehiegizko erradioa (benetazko erradioa eta azalera berdineko esfera euklidear bati dagokion erradioaren arteko diferentzia) honelakoa dela:

[21]

Lurrean, adibidez, gehiegizko erradioa 1.5mm-koa da eta Eguzkian 495m-koa.

Harrigaria da nola ekuazio honek, nahiz eta geometria euklidearran zuzenketa txikiak egin, fisika makroskopikoko ia ekuazio guztiak biltzen dituen. Izan ere, argiaren hutseko abiadura infinitora doanean, bertatik Newtonen grabitazio unibertsalaren legea, Poissonen ekuazioa, eta ondorioz, fluidoen mekanikako ekuazioak (jarraitutasun ekuazoa eta Eulerren ekuazioak), masa eta momentuaren kontserbazio legeak, espazioaren izaera euklidearra etab. lortzen dira.

Modu berean ondorioztatzen dira kontserbazio lege erlatibista guztiak eta eremu grabitatorioaren eta masaren existentzia espazioak bi dimentsio baino gehiago dituenean soilik gerta daitekela. Gainera, espazioak lau dimentsio dituela onartzen bada (egunerokotasunean ikusten ditugun hiru gehi Plancken luzeerako beste dimentsio zirkular txiki bat), Einsteinen ekuazioetatik elektromagnetismoaren teoria klasikoa ondorioztatzen da: Maxwellen ekuazioak, eta ondorioz, Coulomben legea, kargaren elektrikoaren kontserbazioa eta Lorentzen legea.

Limite klasikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Limite klasikoan Ricciren tentsorearen osagai ez-nulu bakarra osagai tenporala da. Limite klasikoa lortzeko argiaren abiaduraren karratuarekin konparatuz, potentzial grabitatoria oso txikia dela onartu eta argiaren abiadura infinitora eraman behar da. Horiek eginez, eremu grabitatoriorako Einsteinen eremu-ekuazioak, potentzial grabitatoriorako Poissonen ekuazio diferentzialen forma hartzen dute. Suposatuz eremu grabitatorio ahuletarako espazio-denboraren metrika Minkowskiren metrikaren pertubaziotzat har daitekela:

Ricciren osagai tenporala:

Azken hau, bereziki, Poissonen ekuazioa da, potentzial grabitatorioa materia dentsitatearekin erlazionatzen duena.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. a b «Einstein, Albert - Die Feldgleichungen der Gravitation» echo.mpiwg-berlin.mpg.de Noiz kontsultatua: 2021-04-27.
  2. Misner, Charles W.. (1973). Gravitation. ISBN 0-7167-0334-3. PMC 585119. Noiz kontsultatua: 2021-04-27.
  3. Carroll, Sean M.. (2004). Spacetime and geometry : an introduction to general relativity. Addison Wesley ISBN 0-8053-8732-3. PMC 53245141. Noiz kontsultatua: 2021-04-27.
  4. Grøn, Øyvind. (2007). Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology. Springer ISBN 978-0-387-69200-5. PMC 187016136. Noiz kontsultatua: 2021-04-27.
  5. (Ingelesez) Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem. (1975). Introduction to general relativity. McGraw-Hill ISBN 978-0-07-000423-8. PMC 1046135. Noiz kontsultatua: 2021-04-28.
  6. Adler, Ronald. (1975). Introduction to general relativity. (2d ed. argitaraldia) McGraw-Hill ISBN 0-07-000423-4. PMC 1046135. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  7. Weinberg, Steven. (1993). Dreams of a final theory.. Vintage ISBN 0-09-922391-0. PMC 29387261. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  8. Exact solutions of Einstein's field equations.. (2nd ed.. argitaraldia) Cambridge University Press 2003 ISBN 978-0-511-06548-4. PMC 57417928. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  9. Misner, Charles W.. (1973). Gravitation. ISBN 0-7167-0334-3. PMC 585119. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  10. Weinberg, Steven. (1972). Gravitation and cosmology : principles and applications of the general theory of relativity. ISBN 0-471-92567-5. PMC 329615. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  11. Peebles, P. J. E.. (1980). The large-scale structure of the universe. Princeton University Press ISBN 0-691-08239-1. PMC 6421704. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  12. (Ingelesez) Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.; Maddox, S. J.. (1990-12-XX). «The cosmological constant and cold dark matter» Nature 348 (6303): 705–707. doi:10.1038/348705a0. ISSN 1476-4687. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  13. Collins, P. D. B.. (1989). Particle physics and cosmology. Wiley ISBN 0-471-60088-1. PMC 18981408. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  14. Peacock, John A.. (1999). Cosmological physics. Cambridge University Press ISBN 0-521-42270-1. PMC 39498458. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  15. Gamow, George. (1970). My world line : an informal autobiography. Viking Press ISBN 0-670-50376-2. PMC 70097. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  16. «University of Toronto -- News@UofT -- Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success? (Nov 22/05)» web.archive.org 2007-03-07 Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  17. Turner, Michael S.. (2002-10-01). «Making sense of the new cosmology» International Journal of Modern Physics A 17 (supp01): 180–196. doi:10.1142/S0217751X02013113. ISSN 0217-751X. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  18. Aguirregabiria, Juan Mari. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. , 100 or. ISBN 978-84-9860-710-9..
  19. Brown, Harvey R.. (2005). Physical relativity : space-time structure from a dynamical perspective. Clarendon Press ISBN 1-4237-5721-1. PMC 64589318. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  20. (Ingelesez) Trautman, Andrzej. (1977-08-01). «Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with hopf fibrings» International Journal of Theoretical Physics 16 (8): 561–565. doi:10.1007/BF01811088. ISSN 1572-9575. Noiz kontsultatua: 2021-04-29.
  21. «The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space» www.feynmanlectures.caltech.edu Noiz kontsultatua: 2021-04-29.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]