Artikulu hau "Kalitatezko 1.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da

Ekuazio lineal

Wikipedia, Entziklopedia askea
Jump to navigation Jump to search
Bi ekuazio linealen adierazpen geometrikoa

Ekuazio lineala lehen mailako ekuazio aljebraiko bat da non ezezagunen berreturak bat diren. Aldagai bateko ekuazio linealen adibide sinpleena hau da: , non eta konstanteak diren, eta zeroren desberdina. Konstante horiek hainbat motatakoak izan daitezke: zenbakiak, parametroak…

Ekuazio linealek aldagai bat baino gehiago izan ditzakete. Adibidez, hiru aldagaiko ( eta ) ekuazio lineala honela idatz daiteke: , non eta konstanteak diren, eta eta ez-nuluak. Ekuazio linealak maiz erabiltzen dira Matematikaren hainbat arlotan, bereziki, Matematika Aplikatuan. Gainera, fenomeno fisikoak modelizatzeko erabil daitezke. Izan ere, ekuazio ez-linealak ekuazio linealen bidez hurbil daitezke.

Ekuazioa lineala izango da gai bakoitzeko aldagaien berreturen batura 1 bada. Berretura 1 baino handiagoa duten ekuazioei ez-lineal deritze. Adibidez, ekuazioa ez-lineala izango da lehenengo gaiko aldagaien berreturen batura 2 delako ( ). Gainera, funtzio polinomikoak ez diren funtzioak dituzten ekuazioak ez-linealak dira.

Jarraian, aldagai kopuru desberdinetako ekuazio linealak aztertuko dira. Gainera, funtzio linealen eta inekuazio linealen oinarrizko kontzeptuak azalduko dira.

Aldagai bakarreko ekuazio linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aldagai bakarreko ekuazio linealen forma orokorra hau da:

,

non eta zenbaki errealak diren eta zeroren desberdina den.

Ekuazio lineal orokorraren soluzioa hau da:

.

Edozein beste ekuazio lineal bakandu daiteke aurreko formara, aljebraren oinarrizko legeak aplikatuz. Adibidez, ekuazioa oso erraz bakanduko dugu itxurara, eta azken hori forma orokorra da.

Bi aldagaiko ekuazio linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi aldagaiko ekuazio linealen ohiko forma honako hau da:

non eta konstanteak diren, eta zeroren desberdina.

Mota honetako ekuazioen soluzioak planoan zuzen baten bidez irudika daitezkeelako esaten zaie lineal.

Horregatik, ekuazioan konstanteak zuzenaren malda adierazten du eta, konstanteak, zuzenak ardatza zein puntutan mozten duen.

Bi aldagaiko ekuazio linealen adierazpen motak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz.

Forma orokorra (estandarra)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio linealen forma orokorra honela adierazten da:

non eta zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke. zeroren desberdina denean, zuzenak puntuan ebakiko du ardatza; zeroren desberdina bada, zuzenak puntuan ebakiko du ardatza, eta zuzenaren malda izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da:

non eta zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz.

Malda-intersekzio forma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

non konstantea zuzenaren malda den eta ardatzaren ebaki-puntua. Hori erraz ikus daiteke: -ri zero balioa emanez, lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak ardatza puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da denean, eta gorakorra denean.


Puntu-malda forma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

non konstantea zuzenaren malda den eta zuzeneko edozein puntu.

Zuzen baten malda

Forma honek erakusten du ardatzeko bi punturen arteko distantzia ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko proportzionala dela. Porportzionaltasun-konstantea da (zuzenaren malda).

Puntu bikoitzeko forma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

non eta , baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda eran emanda baitago.

Ekuzioaren bi aldeak balioarekin biderkatuz, forma simetriko deritzon adierazpena lortzen da:

Oinarrizko propietateak aplikatuz eta gaiak berrantolatuz, honako forma hau lortzen da:

.

Aurreko adierazpenetik determinante forma lor daiteke:

Intersekzio-forma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

non eta zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak ardatza puntuan ebakiko duela eta ardatza puntuan. Intersekzio-forma forma orokor bezala idatz daiteke eta aldaketak eginez. Jatorritik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi.

Forma matriziala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Forma orokorretik abiatuta, hots, ekuaziotik hasita, forma matriziala lor daiteke:

Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke.

Adibidez,

ekuazio-sistema honela laburtu daiteke:

Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, Gauss-Jordan metodoa, matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke.

Forma parametrikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

eta

Aldibereko bi ekuazio horiek parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda izango da, ardatza puntuan ebakiko du eta ardatza puntuan.

2 dimentsioko bektorearen determinante-forma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zuzen baten ekuazioa bi bektoreren arteko detemerminante gisa idatz daiteke. eta zuzeneko puntuak badira, orduan puntua zuzeneko parte izango da honakoa betetzen bada:

Formula ulertzeko modu bat da bi bektoreren arteko determinanteak puntuek osatzen duten paralelogramoaren azalera ematen digula jakitea. Gainera, determinantea zeroren berdina bada, paralelogramoak ez du azalerarik, eta bi bektoreak zuzen berdina osatzen dutela esaten da.

Zehatzago idatzita esan daiteke , eta direla. Kasu horretan, eta direnez, aurreko ekuazioa honela idatz daiteke:

Adierazpena garatuz,

Hau da,

Zuzen horizontala, y=b

Ekuazioaren bi aldeetan gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da.

Kasu bereziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • . Ekuazio hau eta direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala, ardatza puntuan ebakiko du. den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela ardatza ebakiko. denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ardatzean egongo dira.
Zuzen bertikala x=a
  • .Ekuazio hau eta direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta, den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela ardatza ebakiko. denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ardatzean egongo dira.

Funtzio linealekin duten lotura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

moduan adierazten den eta jatorritik igarotzen den ekuazio linealak honako bi propietate hauek betetzen ditu:

eta

non eskalarra den. Aurreko bi propietateak betetzen dituen funtzioari funtzio lineal deritzo.

Bi aldagai baino gehiagoko ekuazio linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio linealek bi aldagai baino gehiago izan ditzakete, eta aldagaiko edozein ekuazio lineal modu honetan berridatz daiteke:

,

non koefizienteak zenbaki ez-nuluak diren. aldagaiei ezezagun deritze eta, b koefizienteari, gai aske. Oro har, hiru aldagai edo gutxiago dituzten ekuazio linealak adierazteko, , eta erabiltzen dira, eta erabili beharrean.

aldagaiko ekuazioan koefiziente guztiak nuluak badira gai askea izan ezik, ekuazio linealak ez du soluziorik izango. Izan ere, berdintza lortuko da, izanik, eta horrek ez du zentzurik zenbakiak erabiltzen direnean. Gai askea eta koefizienteak nuluak baldin badira, ekuazio linealak infinitu soluzio izango ditu edozein zenbaki-multzotarako beteko baita ekuazioa.

Aldagairen baten koefizientea zeroren desberdina izanez gero, posible da aldagai hori bakantzea. Esaterako, .koefizientea ez-nulua bada, , ekuazio lineala modu honetan berridatz daiteke:

. Hots, koefiziente ez-nulua duen aldagaia ekuazio linealeko beste aldagaien menpe adieraz daiteke.

Aldai anitzeko ekuazio linealak geometrikoki adieraz daitezke, aldagai bakarreko eta bi aldagaiko ekuazioen antzera. denean, soluzio multzoa plano bat da hiru dimentsioko espazio bektorialean; aldagai daudenean, soluzio multzoa dimentsioko hiperplanoa da dimentsioko espazio euklidearrean (edo espazio afinean, zenbakiak konplexuak direnean, esaterako).

Ekuazio linealen sistema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adibidearen adierazpen grafikoa

Matematikan, ekuazio linealen sistema (edo sistema lineala) deritzo aldagai kopuru bera duten bi ekuazio lineal edo gehiagoren bildumari. Adibidez, bi aldagaiko ekuazio linealen sistema da hau:

,

.

Ekuazio linealen sistema baten soluzioak sistemaren ekuazio guztiak bete behar ditu. Aurretik emandako ekuazio linealen sistemaren soluzio bat hau da: eta . Sistema hitzak adierazten du ekuazio-bilduman dauden ekuazio guztiak batera hartu behar direla kontuan, eta ez bakoitza bere aldetik.

Ekuazio ez-linealez osatutako sistemei ekuazio ez-linealen sistema deritze; ekuazio ez-linealen antzera, ekuazio ez-linealen sistemak ekuazio linealetako sistemen bidez hurbil daitezke.

Inekuazio linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Inekuazio lineal esaten zaie berdintza-ikur ordez desberdintza-ikurra duten ekuazio linealei. Horien adibide dira honako hauek:

eta

.

Bibliografia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4