Edukira joan

Elwin Bruno Christoffel

Wikipedia, Entziklopedia askea
Elwin Bruno Christoffel

Bizitza
JaiotzaMonschau1829ko azaroaren 10a
Herrialdea Prusiako Erresuma
BizilekuaPrusiako Erresuma
HeriotzaEstrasburgo1900eko martxoaren 15a (70 urte)
Hezkuntza
HeziketaBerlingo Humboldt Unibertsitatea
Tesi zuzendariaErnst Kummer
Doktorego ikaslea(k)Paul Epstein (en) Itzuli
Fujisawa Rikitarō (en) Itzuli
Hizkuntzakalemana
Jarduerak
Jarduerakmatematikaria, fisikaria eta unibertsitateko irakaslea
Lantokia(k)Berlin
Zürich eta Estrasburgo
Enplegatzailea(k)Berlingo Unibertsitate Teknikoa
ETH Zürich
Lan nabarmenak
InfluentziakJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
KidetzaPrusiako Zientzien Akademia
Katholischer Studentenverein Askania-Burgundia Berlin (en) Itzuli

Elwin Bruno Christoffel (1829ko azaroaren 10a - 1900eko martxoaren 15a) fisikari eta matematikari alemaniarra izan zen. Geometria diferentzialaren oinarrizko kontzeptuak ezarri zituen eta erlatibitate orokorrerako oinarri matematikoa eman zuen, ondorioz, kalkulu tentsorea garatzeko bidea ireki zuen.

Bizitza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffel Montjoien (gaur eguneko Monschau), Prusian, 1829ko azaroaren 10ean jaio zen. Bere familia oihal-merkatariak ziren. Hasieran, etxean eskolatua, hizkuntzetan eta matematiketan hezi zuten; ondoren, Kolonian, Jesuiten Gymnasiumera eta Koloniako Friedrich-Wilhelms Gymnasiumera bertaratu zen.

1850ean Berlineko unibertsitatera joan zen. Unibertsitatean Matematika ikasi zuen Gustav Dirichlet-ekin (eragin handia izan zuen harengan) [1], besteak beste, eta fisikako eta kimikako ikastaroetara joan zen. 1856an Berlinen doktoratu zen gorputz homogeneoetako elektrizitatearen mugimenduari buruzko tesiarekin, Martin Ohm, Ernst Kummer eta Heinrich Gustav Magnus zuzendarien gainbegiratzean idatzia. [2]

Doktoretza jaso ondoren, Montjoiera itzuli zen. Bertan, hurrengo hiru urteak komunitate akademikotik isolatuta igaro zituen. Hala eta guztiz ere, matematika ikasten jarraitu zuen, batez ere, fisika matematikoa Bernhard Riemann, Dirichlet eta Augustin-Louis Cauchyren liburuekin. Gainera, bere ikerketa egiten jarraitu zuen, geometria diferentzialeko bi lan argitaratuz. [2]

1859an Christoffel Berlinera itzuli zen, bere gaikuntza lortuta eta Privatdozent bihurtuta Berlingo Unibertsitatean. 1862an Dedekindek hutsik utzitako katedra eskaini zioten eta Zuricheko Eskola Politeknikoko katedra izendatu zuten.

Suitzako Teknologia Institutuaren eraikin nagusia Zurichen (ETH).[3]


Matematikako institutu berri bat antolatu zuen oso estimatua zen gazte erakundean (zazpi urte lehenago sortua). Aldi berean, ikerketa lanak argitaratzen jarraitu zuen eta 1868an, Prusiako Zientzia Akademiako eta Milaneko Istituto Lombardoko kide hautatu zuten. 1869an Christoffel Berlinera itzuli zen, Gewerbe akademian (gaur egun Berlineko Unibertsitate Teknikoaren parte da) irakasle izan zen bitartean, Hermann Schwarz Zurichen jarraitu zion. Hala ere, Gewerbe akademia Berlineko unibertsitatetik oso hurbil zegoenez lehiaketa handia zegoen ikasleak erakartzeko. Ondorioz, Gewerbe akademia ezin izan zuen ikasle nahiko ekarri matematikako ikastaro aurreratuak mantentzeko eta Christoffel Berlinetik berriz joan zen 3 urte igaro ondoren. [2]

Palais Universitaire, Estrasburgoko Unibertsitate Inperialaren eraikin nagusia. [4]

1872an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitateko irakaslea bihurtu zen. Estrasburgoko Unibertsitatea, ehun urteko erakundea, unibertsitate moderno batean berrantolatu zen Frantzia-Prusia gerran Alsazia-Lorrena bereganatu ondoren. Christoffelek, Theodor Reye lankidearekin batera, Estrasburgon matematika departamentu ospetsu bat eraiki zuen. Ikerketak egin eta argitaratu zituen eta  doktoregoko zenbait ikasle izan zituen, besteak beste, Rikitaro Fujisawa, Ludwig Maurer eta Paul Epstein.

1894an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitatetik erretiratu zen, eta haren oinordekoa Heinrich Weber izan zen. [2] Erretiratu ondoren, lan egiten jarraitu zuen eta era berean, argitalpenak ere egin zituen. Izan ere, azken artikulua hil baino lehen amaitu zuen eta hil ondoren argitaratua izan zen.[1]

Christoffel 1900eko martxoaren 15ean hil zen Estrasburgon. Ez zen inoiz ezkondu eta ez zuen familiarik utzi. [2]

Lana[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometria Diferentziala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffel geometria diferentzialari egindako ekarpenengatik gogoratzen da batez ere. 1869an n aldagaietako forma diferentzialetarako baliokidetasun-arazoari buruz, artikulu bat argitaratu zuen Crelle’s Journal aldizkarian[5]. Bertan, funtsezko teknika sartu zuen, ondoren diferentzia kobariantea deitu zen, eta Riemann-Christoffelen tentsorea definitzeko erabili zuen (barietate riemanniarren kurbadura adierazteko metodorik arruntena).

Journal für die reine und angewandte Mathematik. [6]


Artikulu horretan Christoffelen ikurrak aipatu zituen eta . Ikur horiek koordenatu lokalen sistema bati lotutako Levi-Civita konexioaren osagaiak adierazten dituzte. Christoffelen ideiak Gregorio Ricci-Curbastro eta bere ikaslea Tullio Levi-Civitak orokortu eta garatu zituzten, hain zuzen ere, tentsoreen eta kalkulu diferentzial absolutuaren kontzeptu bihurtu zituzten. Kalkulu diferentzial absolutuak, ondoren tentsore kalkulua deitua, erlatibitate orokorraren teoriaren oinarri matematikoa osatzen du. [2]

Analisi Konplexua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffelek analisi konplexuan lagundu zuen, non Schwarz – Christoffel kartografia Riemann kartografiaren teoremaren lehen eraikuntza-aplikazio ez tribiala den. Schwarz-Christoffelen mapaketak funtzio eliptikoen teoriarako eta fisikaren arlotarako aplikazio asko ditu. [2] Funtzio eliptikoen arloan, integral abeliarrei eta theta funtzioei buruzko emaitzak ere argitaratu zituen.

Analisi Numerikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Legendreko lehen sei polinomioak.[7]

Christoffelek integraziorako koadratura gaussiarraren metodoa orokortu zuen. Honekin batera, Christoffel-Darboux-en formula ere sartu zuen Legendreko polinomioetarako [8] (geroago polinomio ortogonal orokorretarako formula ere argitaratu zuen).

Beste ikerketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffelek teoria potentziala eta ekuazio diferentzialen teoria ere landu zituen, baina arlo horietan egin zituen ikerketa asko oharkabean geratu ziren. Ekuazio diferentzial partzialen erantzunetan etenak hedatzeari buruz bi artikulu idatzi zituen. Artikulu horiek talka-uhinen teorian aitzindari izan den lana irudikatzen dute. Fisika ere ikasi zuen eta optikari buruzko ikerketa argitaratu zuen, baina bere ekarpenek berehala galdu zuten erabilgarritasuna, argizagiaren kontzeptua bertan behera utzi zenean. [2]

Christoffelen ikurrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffelen ikurrak bi eratan adierazita daude: lehen motako Christoffelen ikurrak eta bigarren motako Christoffelen ikurrak. Bigarren motako ikurren definizioa sinpleagoa da, orduan lehenengo azalduko da.

Bigarren motako Christoffelen ikurrak (definizio simetrikoa)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bigarren motako Christoffelen ikurrak, koordenatu-oinarri batean, Levi-Civita konexioaren konexio-koefizienteak dira. Beste era batean esanda, bigarren motako ikurrak [9][10] (batzuetan edo ) [5]. [9] koefiziente bakarrak bezala definituta daude:

non Levi-Civita konexioa aldean   (adib. ) koordenatu-norabidean hartuta eta koordenatu lokal (holonomikoa) bat diren.

Konexio honen tortsioa zero denez eta eremu bektore holonomikoak kommutatu egiten direnez (adib. ) hurrengoa daukagu:

Horregatik oinarri horretan lotura-koefizienteak simetrikoak dira[9] :

Horregatik, tortsio gabeko lotura, simetrikoa orokorrean esaten zaio.

Christoffel ikurrak tentsore metrikoaren deribatu kobariantea desagertzean erator daitezke  :

Laburpen-notazio gisa, nabla ikurra eta deribatuen sinbolo partzialak erortzen dira maiz, eta, horren ordez, puntu eta koma eta koma erabiltzen dira deribaturako erabiltzen den aurkibidea abiarazteko. Honela, aurrekoa batzuetan honela idazten da:

Sinboloak beheko bi indizeetan simetrikoak direla erabiliz, esplizituki ebatzi daiteke Christoffelen ikurrentzat tentsore metrikoaren funtzio gisa, indizeak permutatuz eta berriro bilduz[11]:

non ( ) matrizearen () alderantzizkoa den, (Kroneckerren delta, eta Einsteinen notazioa batuketarako erabiliz) honela definitzen da: . Christoffelen ikurrak indizedun tentsoreen notazio berean idatzita dauden arren, ez dira tentsoreak bezala koordenatu-aldaketa baten pean eraldatzen.

Tentsore metrikoa objektu intrintsekoa denez, tentsorearen terminoetan deskribatu ahal diren objektuak eta haien deribatuak ere intrintsekoak dira. Tentsore metrikotik erator daitekeen objektu bat Christoffelen sinboloa da. Christoffelen ikurrak oinarrizko bektoreen aldaketa deskribatzen du puntu batetik bestera kurbadura koordenatu sistemetan. Christoffelen ikurrak koordenatu bakoitzetik bereizitako oinarrizko bektore bakoitzaren 𝑛3 deribatu partzialak dira. Christoffelen ikurrak koordenatuen aldagaiekiko kobariantzaren aldaketa-tasa neurtzen dute.

Orokorrean, bektore edo tentsore baten osagaien deribatu partzialak ez dira tentsore baten osagaiak. Christoffelen ikurren kasuan hau gertatzen da, tentsore metrikotik partzialki eratortzen baitira, baina ez dira berez tentsoreak. Kobariantza deribatuak tentsoreak sortzen ditu tentsoreetatik abiatuta.

Antzeko koordenatuetan, kobariantza oinarria berbera da puntu guztietan. Ondorioz, deribatu kobariantea konmutatiboa da. Hala ere, hau ez da gainazal kurbatuen kasuan gertatzen.[12][13]

Indizeak uzkurtzea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Goiko indizea beheko edozein indizerekin uzkurtzeak (simetrikoak direnak):

Non tentsore metrikoaren determinantea den. Identitate hori bektoreen dibergentzia ebaluatzeko erabil daiteke.

Lehen motako Christoffelen ikurrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lehen motako Christoffelen ikurrak bigarren motako Christoffel ikurretatik eta metrikatik lor daitezke[11]:

edo metrikatik bakarrik, [11]

Notazio alternatibo gisa ere ager daiteke [11][9] [14]

Garrantzitsua da aipatzea:

Ricci errotazio-koefizienteak (definizio asimetrikoa)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

oinarri ortonormala aukeratzen bada: , orduan . Ondorioz,

eta lotura-koefizienteak antisimetriko bihurtzen dira lehenengo bi indizeetan:

non

Kasu honetan, konexio-koefizienteei Ricci errotazio-koefizienteak deitzen zaie. [15][16]

Era berean, Ricci errotazio koefizienteak honela defini daitezke [10]:

Non oinarri ortonormalen ez-holonomikoa eta bere ko-oinarria.

Schwarz–Christoffel mapaketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Schwarz – Christoffel kartografia edo mapaketa, poligono sinple baten barnean dagoen goiko plano erdiaren edo unitate disko konplexuaren mapa konformal bat da. Mapa hori Riemannen kartografiaren teoremak bermatzen du (Bernhard Riemannek 1851n adierazia); Schwarz – Christoffel formulak eraikuntza esplizitu bat eskaintzen du.

Schwarz – Christoffel mapaketa teoria potentzialean eta bere aplikazioetako batzuetan erabiltzen dira, azalera minimoak, arte hiperbolikoa eta fluidoen dinamika barne.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi poligono bat plano konplexuan. Riemannen kartografiaren teoremak esan nahi du plano erdiaren kartografia biholomorfiko bat dagoela.

poligonoaren barrualdera. f funtzioak poligonoaren ertzetaraino marrazten du benetako ardatza. Poligonoak barneko angeluak baditu, orduan kartografia hau honela ematen da:

Non   konstante bat den. Eta eta planoko poligonoko erpinei dagozkien puntuen balioak dira planoaren ardatz errealean zehar. Forma horretako transformazio bati Schwarz – Christoffel kartografia deitzen zaio.[17][18][19]

Schwarz – Christoffel planoaren kartografiaren adibidea.[20]

Christoffel ekuazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Uhin batek hurrengo forma du:

unitate-luzerarekin. Uhin-ekuazioaren soluzio bat da, zero indarrarekin, baldin eta soilik baldin eta eragile aljebraiko akustikoaren autobalio/autobektore bikotea badira.

Hedapen-baldintza hori (Christoffel ekuazioa bezala ere ezagutzen da) honela idatz daiteke:

non hedapen-norabidea eta fase-abiadura adierazten duten.[21]

Christoffel–Darboux formula[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffel – Darboux formula polinomio ortogonalen sekuentzia baterako identitate matematikoa da. Elwin Bruno Christoffelek (1858) eta Jean Gaston Darbouxek (1878) aurkeztu zuten. Identitatearen arabera,

norma karratuko eta koefiziente nagusiko polinomio ortogonalen multzo baten th terminoa da. Identitate horren "forma konfluente" bat dago muga hartzen bada:

[22]

Riemann – Christoffel tentsorea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometria diferentzialean, Riemann – Christoffel tentsorea (Bernhard Riemann eta Elwin Bruno Christoffelen ondoren)  edo hobeto ezaguna Riemann kurbadura tentsorea, manifestu riemannarren kurbadura adierazteko modurik arruntena da. Riemanniar espazioa baten puntu bakoitzari tentsore bat ematen dio (hau da, tentsore-eremu bat da). Riemanniar metriken inbaditzaile lokal bat da, bigarren deribatu kobarianteen konmutazioaren gatazka neurtzen duena. Riemanniar espazioa, laua bada, zero kurbadura du, hau da, euklidear espazioarekiko tokiko isometrikoa bada.[23]

Erlatibitate orokorra teoriaren funtsezko tresna matematikoa da. Espazio-denboraren kurbadura, printzipioz, desbideratze geodesikoaren ekuazioaren bidez ikus daiteke. Kurbadura tentsoreak, geodesiko batean zehar mugitzen den gorputz zurrun batek bizi duen itsasaldi indarra irudikatzen du, Jacobiren ekuazioak zehaztutako zentzuan.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi Riemanniar edo pseudo-Riemanniar espazioa, eta bektore-eremu guztien espazioa M den. Riemannen kurbadura-tentsorea mapa gisa definitzen dugu hurrengo formula [23] erabiliz, non Levi-Civita konexioa den:

edo modu baliokidean:

,

non Zelai bektorialen euskarri faltsua eta operadore diferentzialen kommutadorea diren. Eskuineko aldea eremu bektorialen balioaren mende baino ez dagoepuntu jakin batean. Hori nabarmena da, eremu bektorial baten deribatu kobariantea puntuaren albo bateko eremuaren balioen mende baitago. Orduan, tentsore eremua da. koordenatuentzako transformazio lineala kurbaduraren eraldaketa edo endomorfismoa ere esaten zaio. Batzuetan, kurbadura tentsorea kontrako zeinuarekin definitzen da. Kurbadura tentsoreak deribatu kobariantearen ez-kommutatibotasuna neurtzen du, eta hori gertzatzen denean espazio euklidearrarekin (testuinguru honetan espazio laua esaten zaio) isometria bat existitzeko integragarritasun oztopoa da. Levi-Civita konexioa tortsio gabea denez, kurbadura bigarren deribatu kobariantearen terminoetan ere adieraz daiteke[24]

eta

Horrela kurbadura tentsoreak bigarren deribatu kobariantearen ez-kommutatibotasuna neurtzen du. Notazio indize abstraktuan,

Riemann kurba tentsorea kobektore arbitrarioa, bere buruarekin, deribatu kobariantearen kommutadorea da :[25][26]

Formula hori Ricci-ren identitatea deitzen da.[27] Riccik eta Levi-Civitak Riemann kurbadura tentsorearentzako adierazpen bat lortzeko erabili zuten metodo klasikoa da.[28] Identitate hau orokortu daiteke tentsore arbitrarioen bi kobariante lortzeko:[29]

Formula hau aldaketarik gabeko dentsitate tentsoreei ere aplikatzen zaie, Levi-Civitarentzat (ez generikoarentzat) lotura bat lortzen da:[27]

non

Batzuetan komenigarria da kurba tentsorearen bertsio kobariante hutsa ere definitzea:

Publikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ohoreak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Christoffel zenbait akademiatako kide hautatu zuten:

Akademiaren eraikina Theaterstraße-n (Antzerki kalean), Göttingenen. [31]

Prusiako Erresumak Christoffeli bi sari eman zizkion:

Koroaren ordena (Prusia).[32]

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. a b (Alemanez) Windelband. (1901-09). [http://link.springer.com/10.1007/BF01454257 «Zum Ged�chtniss Elwin Bruno Christoffel's»] Mathematische Annalen 54 (3): 341–344.  doi:10.1007/BF01454257. ISSN 0025-5831. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  2. a b c d e f g h (Ingelesez) Butzer, Paul L. (1981-08). «An outline of the life and work of E. B. Christoffel (1829–1900)» Historia Mathematica 8 (3): 243–276.  doi:10.1016/0315-0860(81)90068-9. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  3. ZachT
  4. Kent Wang
  5. a b «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.» Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1869 (70): 46–70. 1869-01-01  doi:10.1515/crll.1869.70.46. ISSN 0075-4102. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  6. Ferran Mir
  7. Geek3
  8. «Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben.» Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1858 (55): 61–82. 1858-01-01  doi:10.1515/crll.1858.55.61. ISSN 0075-4102. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  9. a b c d Chatterjee,U.; Chatterjee, N.. (2010)). Vector & Tensor Analysis. , 480 or..
  10. a b «Christoffel Symbol of the Second Kind -- from Wolfram MathWorld» web.archive.org 2009-01-23 (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  11. a b c d Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I.. (1980). Tensor analysis on manifolds. Dover ISBN 978-0-486-64039-6. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  12. Cox, Jennifer. (2019). The Riemann Curvature Tensor. Mathematics Senior Capstone Papers.3., 4 or..
  13. Aguirregabiria, Juan M.. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. ISBN 978-84-9860-710-9..
  14. Struik, D.J.. (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (first published in 1988 Dover ed.).. Dover., 114 or. ISBN 0-486-65609-8...
  15. Ricci-Curbastro, G.. (1896). Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque. Mem. Acc. Lincei. 2 (5): 276–322..
  16. (Ingelesez) Levy, Harry. (1925). «Ricci’s coefficients of rotation» Bulletin of the American Mathematical Society 31 (3): 142–145.  doi:10.1090/S0002-9904-1925-03996-8. ISSN 0273-0979. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  17. «Essentials of Schwarz–Christoffel mapping» Schwarz-Christoffel Mapping (Cambridge University Press): 9–22. 2002-06-20 (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  18. Nehari, Zeev. (1975). Conformal mapping. Dover Publications ISBN 978-0-486-61137-2. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  19. Driscoll, Tobin A.; Trefethen, Lloyd N.. (2002-06-20). Schwarz-Christoffel Mapping. (1. argitaraldia) Cambridge University Press  doi:10.1017/cbo9780511546808. ISBN 978-0-521-80726-5. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  20. Jitse Niesen
  21. (Ingelesez) Linear elasticity. 2024-02-20 (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  22. (Ingelesez) Świderski, Grzegorz; Trojan, Bartosz. (2021-08). «Asymptotic Behaviour of Christoffel–Darboux Kernel Via Three-Term Recurrence Relation I» Constructive Approximation 54 (1): 49–116.  doi:10.1007/s00365-020-09519-w. ISSN 0176-4276. (Noiz kontsultatua: 2024-05-06).
  23. a b Lee, John M.. (2018). Introduction to Riemannian manifolds. (Second edition. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-319-91754-2. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  24. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise. (1994). Spin geometry. (2. printing with errata sheet. argitaraldia) Princeton Univ. Press ISBN 978-0-691-08542-5. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  25. Synge, J. L.; Schild, Alfred. (2009). Tensor calculus. (Nachdr.. argitaraldia) Dover Publ ISBN 978-0-486-63612-2. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  26. Dirac, Paul Adrien Maurice. (1996). General theory of relativity. (Reprint. argitaraldia) Princeton Univ. Press ISBN 978-0-691-01146-2. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  27. a b Lovelock, David; Rund, Hanno. (1989). Tensors, differential forms, and variational principles. (Dover ed. argitaraldia) Dover Publ ISBN 978-0-486-65840-7. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  28. (Frantsesez) Ricci, M. M. G.; Levi-Civita, T.. (1900-03). [http://link.springer.com/10.1007/BF01454201 «M�thodes de calcul diff�rentiel absolu et leurs applications»] Mathematische Annalen 54 (1-2): 125–201.  doi:10.1007/BF01454201. ISSN 0025-5831. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  29. (Ingelesez) Sandberg, Vernon D.. (1978-12-01). «Tensor spherical harmonics on S 2 and S 3 as eigenvalue problems» Journal of Mathematical Physics 19 (12): 2441–2446.  doi:10.1063/1.523649. ISSN 0022-2488. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  30. (Ingelesez) Eisenhart, Luther Pfahler. (1914-06-01). «Book Review: E. B. Christoffel, Gesammelte mathematische Abhandlungen» Bulletin of the American Mathematical Society 20 (9): 476–483.  doi:10.1090/S0002-9904-1914-02522-4. ISSN 0002-9904. (Noiz kontsultatua: 2024-05-07).
  31. A.Savin, Wikipedia
  32. Robert Prummel at Dutch Wikipedia.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]