Funtzio hiperboliko

Jatorritik igarotzen den zuzenerdi bat $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ hiperbola ebakitzen du $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$ puntuan, non $\scriptstyle a$ zuzenerdiak, abzisen ardatzerdiak eta hiperbolak zedarritutako azaleraren bikoitza da. $\scriptstyle X$-ardatzaren azpiko hiperbolako puntuetarako azalera negatibotzat hartzen da (ikusi bertsio biziduna funtzio trigonometrikoekin (zirkularrak) alderatuta.

Matematikan, funtzio hiperbolikoak ohiko funtzio trigonometrikoen funtzio analogoak dira, baina zirkulu bat hartu beharrean erreferentziatzat, $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ hiperbola hartuta. Matematikako eta fisikako adar batzuetan garrantzia dute.

Adierazpen analitiko estandarrak

sinh, cosh eta tanh

csch, sech eta coth

(a) cosh(x) e^x eta e^−x-ren batezbestekoa da.

(b) sinh(x) e^x eta e^−x-ren kenduraren erdia da.

Funtzio hiperbolikoak hauek dira:

• Sinu hiperbolikoa:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}$.

• Kosinu hiperbolikoa:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}$.

• Tangente hiperbolikoa:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}$.

• Kotangente hiperbolikoa:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}$

• Sekante hiperbolikoa:

$\operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}$

• Kosekante hiperbolikoa:

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}$

Funtzio hiperbolikoak angelu irudikarien bidez ere defini daitezke:

• Sinu hiperbolikoa:

$\sinh x=-i\sin(ix)$

• Kosinu hiperbolikoa:

$\cosh x=\cos(ix)$

• Tangente hiperbolikoa:

$\tanh x=-i\tan(ix)$

• Kotangente Hiperbolikoa:

$\coth x=i\cot(ix)$

• Sekante hiperbolikoa:

$\operatorname {sech} x=\sec(ix)$

• Kosekante hiperbolikoa:

$\operatorname {csch} x=i\csc(ix)$

non i unitate irudikari baita, propietate honekin: i² = −1.

Goiko definizioetako forma konplexuak Eulerren formulatik datoz.

Kanpo estekak

• Datuak: Q204034
• Multimedia: Hyperbolic functions / Q204034

Artikulu hau matematikari buruzko zirriborroa da. Wikipedia lagun dezakezu edukia osatuz.