Funtzio injektibo

Wikipedia, Entziklopedia askea
Funtzio injektiboren adibidea.

Matematikan, funtzio injektiboa funtzio bat da, -ko (irudi-multzoa) elementu bakoitzari gehienez -ko (definizio-eremua) elementu bat esleitzen diona.

Horrela, esaterako, zenbaki errealen funtzioa: , ez da injektiboa, zeren 4 balioa bi kasutan lor baitaiteke: eta . Baina, definizio-eremua zenbaki positibotara murrizten bada, funtzio berri bat lortuz, orduan bada funtzio injektiboa.

Definizio formala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hizkuntza zehatz batean, funtzio bat injektiboa da hauetako baieztapen baliokide bat betetzen denean:

  • multzoko elementuak badira, non den, ezinbestez betetzen da.
  • multzoko elementu desberdinak badira, ezinbestez betetzen da.

Sinbolikoki,

eta hau, logikoki, bere kontrajarriaren baliokidea da,
Diagrama hauek funtzio injektiboei dagozkie:

Correspon 1402.svg
Correspon 1602.svg

Kardinalitatea eta injektibitatea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez A eta B bi multzo. A-tik B-rako funtzio injektiboa bat existitzen bada , 2 multzo horien kardinalek erlazio hau betetzen dute:

Gainera, B-tik A-rako funtzio injektibo bat existitzen bada , orduan froga daiteke existitzen dela A-tik B-rako bijekzio bat.

Injektibitatea euklidear espazioan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

funtzioa izanik, zeina diferentziagarria den eta jarraia n dimentsioko Euklidear espazioko eremu batean, beharrezko nahikoa baldintza ezar daitezke funtzio hori injektiboa den ala ez erabakitzeko. Alderantzizko funtzioaren teoremak nahikoa ez den baldintza bat ematen du funtzio diferentziagarri bat lokalki injektiboa den jakiteko:

non funtzioaren matrize jakobinoa den.

Baldintza hori ez da nahikoa funtzioa injektiboa den edo ez esateko (izatez, ez da beharrezko baldintza ere). Nahikoa diren baldintzak aurkitzeko, desplazamendu bektorea definitzen da, funtzioaren ondorengo espazio bektorialari lotua:

non , eremuaren itxitura den.

Orduan funtzio injektiboa izango da; froga daiteke dela baldin eta eremua ganbila bada, eta behar dela izan baldin eta eremua ez bada ganbila.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Edozein multzorako eta edozein azpimultzorako, hau da, bere funtzioa (edozein elementu bere buruari bildatzen diona) injektiboa da. Bereziki, identitate funtzioa XX beti da injektiboa (egiatan bijektiboa da).
  • Funtzio baten definizio-eremua multzo hutsa bada, orduan funtzio hutsa izango da, zeina injektiboa da.
  • Funtzio baten definizio eremuak soilik elementu bat badu (alegia, ale bakarreko multzoa da), orduan funtzioa beti injektiboa da.
  • funtzioa honela definituta: injektiboa da.
  • funtzioa honela definituta: ez da injektiboa, zeren, adibidez, baita. Hala ere, berriro definitzen bada, bere definizio-eremua zenbaki erreal ez negatiboak [0,+∞) izanik, orduan injektiboa da.
  • Funtzio esponentziala honela definituta: injektiboa da (baina ez supraiektiboa, zenbaki negatiboak sortzen ez duelako, x-ren inolako balioarekin erlazio ez dutenak).
  • Logaritmo nepertarra. ln : (0, ∞) → R funtzioa honela definituta: x ↦ ln x injektiboa da.
  • g : R → R funtzioa honela definituta: g(x) = xnx ez da injektiboa, zeren, adibidez, g(0) = g(1) baita.

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]