Goodman eta Kruskalen gamma

Estatistikan, Goodman eta Kruskalen gamma bi aldagai ordinalen arteko asoziazio ordinalaren maila eta zentzua neurtzen duen koefiziente estatistiko bat da. Bere kalkulurako datuetan dauden konkordantzia eta diskordantzia kopuruak eman behar dira, bi elementuek bi aldagaietan hartzen dituzten mailak alderatuz eskuratzen direnak. Izaten dira, halaber, berdinketak edo konkordantzia edo diskordantzia ez diren kasuak ere, baina horiek ez dira koefizientearen kalkuluan kontuan hartzen. Konkordantzia (N_s) eta diskordantzia (N_d) kopuruak eskuraturik, honela kalkulatzen da Goodman eta Kruskalen gamma koefizientea:

$G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}\$

Koefizienteak [-1,1] tarteko balioak hartzen ditu. Negatiboa denean, bi aldagaien artean alderantzizko asoziazioa dagoela ondorioztatzen da, orduan eta intentsitate handiagoz, -1 baliotik zenbat eta gertuago egon. Positiboa denean, berriz, asoziazio zuzena dagoela esango da, orduan eta intentsitate handiagoz, 1 baliotik zenbat eta gertuago egon.

Konkordantziak eta diskordantziak

Bi elementuren arteko konkordantzia kasu bat gertatzen dela esaten da, elementu batek aldagai ordinal batean beste elementuak baino maila handiagoa hartzea suertatzean, beste aldagaian ere maila handiagoa hartzea gertatzen denean. Diskordantzia dagoela esaten da, berriz, bi elementuetako batek aldagai batean duen maila handiagoarekin batera beste aldagaian beste elementua baino maila txikiagoa gertatzen denean. Konparazioa konkordantzia edo diskordantzia ez denean, berdinketa bat gertatzen dela esaten da.

Adibidez, hainbat pertsonaren gainean errenta maila (txikia, ertaina, handia) eta heziketa maila (oinarrikoa, ertaina, goi mailakoa) jaso nodoren, lauu pertsona hauen datuak isolatu dira:

A: errenta ertaina, ertain mailako ikasketak

B: errenta txikia, oinarriko ikasketak

C: errenta txikia, goi mailako ikasketak

D: errenta handia, ertain mailako ikasketak

• A eta B alderatzen direnean, konkordantzia bat sortzen da, A pertsonak bi aldagaietan maila handiagoa duelako.
• A eta C alderatzean, berriz, diskordantzia gertatzen da, Ak errentan maila handiagoa duen arren, beste aldagaian maila txikiagoa baitu.
• A eta D alderatzen badira, azkenik, berdinketa bat gertatzen da, aldagai batean gutxienez maila berdina dutelako biek.

Praktikan, konkordantziak eta diskordantziak ez dira elementuak binaka alderatuz hautematen, baizik eta maila-konbinazio bietan dauden elementu kopuruak hartuz. Adibidez, errenta ertaina eta ertain mailako ikasketak dituzten pertsonak 8 badira eta errenta txikia eta oinarriko ikasketak dituzten pertsonak 3 badira, horiek guztiak alderatuz 8×3=24 konkordantzia sortuko dira.

Kontingentzia taula baterako kalkulua

Elementuak kontingentzia-taula batean bildu direnean, konkordantzia eta diskordantzia kopurua modu bateratuan kalkulatzen dira, elementu bikoteak alderatu gabe, aurreko atalean azaldu bezala. Adibidez,

	errenta txikia	errenta ertaina	errenta altua
oinarriko ikasketak	8	6	10
ikasketa ertainak	4	7	5
goi ikasketak	9	3	2

Konkordantzia kopurua honela kalkulatzen da, beheko eskuineko izkinako gelaskatik (errenta altua / goi ikasketak):

$N_{s}=2\times (7+4+6+8)+3\times (4+8)+5\times (6+8)+7\times 8=212$

Diskordantzia kopurua, berriz, beheko ezkerreko izkinako gelaskatik (errenta txikia / goi ikasketak):

$N_{s}=9\times (7+6+5+10)+4\times (6+10)+3\times (5+10)+7\times 10=431$

Gamma koefizientea hau izango da, azkenik:

$G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}={\frac {212-431}{212+431}}\ =-0.34$

Beraz, alderantzizko asoziazioa dagoela esan daiteke (zenbat eta ikasketa maila altuagoa, orduan eta errenta txikiagoa), intentsitate ertainekoa.