Hiperbola

Artikulu hau kurba matematikoari buruzkoa da; tropoa gaitzat duena beste hau da: «Hiperbole»

Matematikan, hiperbola plano batean etzanda dagoen kurba leun ireki bat da, bere propietate geometrikoen edo hura deskribatzen duten ekuazioen bidez definitu daitekeena; hiperbola bera ekuazio horien soluzio multzoa da. Hiperbola batek bi atal ditu, konektatutako osagaiak edo adarrak deituak, bata bestearen ispilu-irudiak direnak eta bi arku infinituren antza dutenak. Hiperbola hiru sekzio koniko motetako bat da, plano baten eta kono bikoitz baten arteko ebakiduraz osatua. Beste sekzio konikoak parabola eta elipsea dira. Planoak kono bikoitz baten bi erdiak ebakitzen baditu, baina konoen erpinetik igarotzen ez bada, lortutako sekzio konikoa hiperbola bat da.

Hiperbolek propietate analitiko asko partekatzen dituzte elipseekin, hala nola eszentrikotasuna, fokua eta zuzentzailea. Beste objektu matematiko askok hiperbolan dute jatorria; hala nola paraboloide hiperbolikoak, hiperboloideak, geometria hiperbolikoa, funtzio hiperbolikoak (sinh, cosh, tanh, etab. ) eta espazio girobektorialak (erlatibitatean zein mekanika kuantikoan erabiltzeko proposatutako geometria, euklidearra ez dena).

Etimologia

"Hiperbola" hitza grezierazko περβολος hitzetik dator, "gehiegizkoa" esan nahi duena. Hortik dator euskarazko “hiperbole” hitza ere, gauzak gehiegikeriaz adieraztean oinarritutako figura erretorikoa dena.

Historia

Tradizioaren arabera, sekzio konikoak (elipsea, parabola eta hiperbola) Menecmo matematikari eta geometrialari greziarrak aurkitu zituen (K.a. 380 – K.a. 320), kuboaren bikoizketaren arazoa aztertzen zuen bitartean. Lan horretan, aipatutako arazoa parabola bat eta hiperbola bat tartekatuz konpon zitekeela erakutsi zuen. Dena den, kuboaren bikoizketaren^[1] arazoaren konponketa beste geometrialari greko batzuek beranduago baieztatu zuten, hala nola Proclo-k eta Eratostenes-ek.^[2]

Hala ere, “hiperbola” hitza lehen aldiz Apolonio de Perge-k erabili zuen bere Konikoak^[3] izeneko tratatuan. Liburu horretan, Apoloniok sekzio konikoen ukitzaileak eta propietateak sakonki aztertu zituen.

Hiperbolaren elementuak

Erpinak

Hiperbolaren erpinak bere zeharkako ardatzaren muturren puntuak dira. Erpin bat bi lerro edo gehiago gurutzatzen diren ebakitze-puntu bat da. Matematikan eta geometrian, erpinak irudi geometrikoen funtsezko elementuak dira.

Fokuak

Bi puntu dira, F1 eta F2, eta haiekiko konstante mantentzen da hiperbola horren edozein puntutarainoko (x) distantzien diferentzia (balio absolutuan).

$\vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =2a$

Zentroa

Hiperbolaren erpinen eta fokuen erdiko puntua.

Zeharkako ardatza

Hiperbolaren fokuak eta erpinak kokatuta dauden segmentu lerrozuzenari zeharkako ardatza deritzo. 2a balioa du, eta ardatz konjugatuarekiko perpendikularra da.

Ardatz konjugatua

Hiperbolaren erditik igarotzen den segmentu lerrozuzena da; zeharkako ardatzarekiko perpendikularra da eta 2b-ko luzera du.

Foku-ardatza

Segmentu lerrozuzena da; haren muturrak hiperbolaren fokuak dira, eta 2c-ko luzera du. Ardatz hori zeharkako ardatzarekiko lerrokidea da.

Asintotak

Hiperbolaren erdian elkar ebakitzen duten zuzenak dira, adarretara hurbiltzen direnak, hauek hiperbolaren zentrotik urruntzean. Ekuazio kanonikoak koordenatu kartesiarretan ataleko bi ekuazioei aplikatu beharreko asintoten ekuazioak, ondoko hauek dira:

$\left\{{\begin{array}{llr}y&=&\displaystyle \pm {\frac {b}{a}}x\\\\y&=&\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}x\end{array}}\right.$

Zentroa C(h, k) puntuan duten hiperbolen ekuazioak ataleko ekuazioen bidez adierazitako hiperbolen asintotak honela adierazten dira, hurrenez hurren, ekuazio horiek zerorekin berdinduz:^[4]

$\left\{{\begin{array}{lr}\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}-{\frac {y-k}{b}}\right)\left({\frac {x-h}{a}}+{\frac {y-k}{b}}\right)=0\\\\\displaystyle \left({\frac {y-k}{a}}-{\frac {x-h}{b}}\right)\left({\frac {y-k}{a}}+{\frac {x-h}{b}}\right)=0\end{array}}\right.$

Ukitzailea

Hiperbola baten kurbaren edozein punturekiko ukitzailea da puntu horretako bektore erradioek osatutako angeluaren erdikaria.

Puntu jakin bateko $(x_{0},y_{0})$ ukitzailea kalkulatzeko modurik errazena hiperbolaren ekuazioa, ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ , deribatzea da ${\frac {dy}{dx}}$ eginez.

Horrela:

${\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.$

Beraz, ukitzailearen ekuazioa aipatutako $(x_{0},y_{0})$ puntuan hau izango litzateke:

${\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.$

Ekuazio kanonikoak koordenatu kartesiarretan

Zentroa O(0,0) koordenatu-jatorrian duen hiperbola honako ekuazio hauetako baten bidez adieraz daiteke (hiperbolaren ekuazio kanonikoak, edo hiperbola baten ekuazioaren forma normalak izenez ezagutuak):

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\Rightarrow b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1\Rightarrow b^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}$

Ekuazio horietan, a, b eta c balioek zeharkako ardatzerdia, ardatzerdi konjugatua eta foku-ardatzerdia adierazten dituzte, hurrenez hurren. Lehenengo ekuazioak ardatz fokala x ardatzarekiko lerrokide duten hiperbolak adierazten ditu, eta bigarren ekuazioak, y ardatzarekiko lerrokide dutenak. Lehenengo ekuazioan, fokuak F(±c,0) puntuetan daude, eta erpinak V(±a,0) puntuetan. Bigarrenean, fokuak F(0,±c) puntuetan daude eta erpinak V(0,±a) puntuetan. Nolanahi ere, hiru ardatzerdien arteko erlazioa ekuazio honek ematen du:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Bestalde, elipsearen kasuan ez bezala, ez da zertan a>b izan behar.

Zentroa C(h,k) puntuan duten hiperbolen ekuazioak

Aurreko kasuan bezala, ekuazioak egitura hauetariko bat hartzen du:

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

${\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1$

Lehenengo ekuazioa haien foku-ardatza eta zeharkako ardatza x ardatzarekiko paralelo dituzten hiperbolei dagokie. Hauetan, erpinak V(h±a,k) puntuetan daude eta fokuak F(h±c,k) puntuetan.

Bigarren ekuazioa, aldiz, haien foku-ardatza eta zeharkako ardatza y ardatzarekiko paralelo dituzten hiperbolei dagokie. Kasu hauetan, erpinak V(h,k±a) posizioan daude, eta fokuak F(h,k±c) posizioan.

Eszentrikotasuna

Hiperbola baten e eszentrikotasuna honela definitzen da:

$e={\frac {c}{a}}$ ,

non c foku-ardatzaren luzeraren erdia den, eta a zeharkako ardatzak duen luzeraren erdia den.

c balioa a baino handiagoa denez, hiperbolaren eszentrikotasuna 1 baino handiagoa da beti. Eszentrikotasunak zenbat eta balio handiagoa izan, orduan eta estuagoa edo "itxiagoa" izango da hiperbola.

Hiperbolaren ekuazio orokorra

Hiperbola baten ekuazio orokorra honako hau da:

$Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

A eta C koefizienteak zeinu desberdinekoak, ez-nuluak eta A>0 eta C<0 baldin badira, orduan, beren ardatzak koordenatu-ardatzekiko paralelo edo lerrokideak dituen hiperbola baten ekuazio orokorra adierazten du.^[5]

Hiperbolaren ekuazioa bere forma konplexuan

Plano konplexuko hiperbola ReIm planoko z puntu-multzo batek osatutako leku geometrikoa da. Puntu horietako edozeinek honako baldintza geometriko hau betetzen du: z puntuen eta foku-ardatzeko bi fokuen arteko distantzien diferentziaren balio absolutua ( $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|$ puntu finkoetara dagoena) konstante positibo bat da; konstante hori hiperbolaren zentroaren eta foku-ardatzeko edozein erpinen arteko distantziaren bikoitza da (hau da, 2l).

$|z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,$

Jakina, eragiketa hori zenbaki konplexuen multzoan egiten da.

Koordenatu polarretako ekuazioak

Ezkerretik eskuinera irekita dagoen hiperbola:

r^{2}=a\sec 2\theta \,

Goitik behera irekita dagoen hiperbola:

r^{2}=-a\sec 2\theta \,

Ipar-ekialdetik hego-mendebaldera irekita dagoen hiperbola:

r^{2}=a\csc 2\theta \,

Ipar-mendebaldetik hego-ekialdera irekita dagoen hiperbola:

r^{2}=-a\csc 2\theta \,

Eskuineko fokuan jatorria duen hiperbola:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}$

Ezkerreko fokuan jatorria duen hiperbola:

$r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}$

Ekuazio parametrikoak

Hiperbolaren ekuazio kanonikoa, ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ , hainbat ekuazio parametrikoren bidez deskriba daiteke:

Funtzio trigonometriko hiperbolikoen bidez:

${\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\\\end{cases}}\;\;t\in \,\mathbb {R}$

Errepresentazio arrazional gisa:

${\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0$

Funtzio trigonometriko zirkularren bidez:

${\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .$

Adibide praktikoak

1. adibidea:

Beheko ekuazioa duen hiperbolaren grafikoa egin eta kalkulatu fokoen koordenatuak, erpinen koordenatuak eta hiperbolaren eszentrikotasuna.

${\frac {x^{2}}{144}}-{\frac {y^{2}}{81}}=1$

Hiperbola jatorrian zentratuta dago.^[6]

Soluzioa:

Hiperbolaren ekuaziotik:

$a^{2}=144\rightarrow a=12$

$b^{2}=81\rightarrow b=9$

a eta b-ren balioak jakinda, c-ren balioa lor dezakegu:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad c={\sqrt {144+81}}=15$

Orain, a, b eta c-ren balioak dakizkigunez, erpinen koordenatuak (A₁, A₂), fokuen koordenatuak (F₁, F₂) eta eszentrikotasuna (e) kalkula ditzakegu:

$A_{1}=(-a,0),\quad A_{2}=(a,0)\Longrightarrow A_{1}=(-12,0),\quad A_{2}=(12,0)$

$F_{1}=(-c,0),\quad F_{2}=(c,0)\Longrightarrow F_{1}=(-15,0),\quad F_{2}=(15,0)$

$e={\frac {c}{a}}\quad \Longrightarrow \quad e={\frac {15}{12}}={\frac {5}{4}}$

2. adibidea:

Lortu zentroa jatorrian duen, zeharkako ardatz horizontala 8 luzaerakoa duen eta fokuen arteko distantzia 10 duen hiperbolaren ekuazioa.

Soluzioa:

Zeharkako ardatzaren luzera eta fokuen arteko distantzia dakizkigunez:

$2a=8\quad \Longrightarrow \quad a=4$

$2c=10\quad \Longrightarrow \quad c=5$

Datu hauekin, b kalkula dezakegu:

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad b={\sqrt {9}}=3$

Beraz, hiperbolaren ekuazioa:

${\frac {x^{2}}{16}}-{\frac {y^{2}}{9}}=1$

3. adibidea:

Zentroa jatorrian duen hiperbola horizontalaren ekuazioa kalkulatu, $(4,{\sqrt {8}})$ eta $(2{\sqrt {3}},2)$ puntuetatik pasatzen dela jakinda:

Soluzioa:

Badakigu hiperbolaren ekuazioa era honetakoa dela:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

$a^{2}$ eta $b^{2}$ aurkitzeko, enuntziatuko puntuetako balioak hiperbolaren ekuazioan ordezkatu behar dira:

${\frac {4^{2}}{a^{2}}}-{\frac {{\sqrt {8}}^{2}}{b^{2}}}=1$

${\frac {(2{\sqrt {3}})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {2^{2}}{b^{2}}}=1$

Ekuazio hauek ebatziz:

$a^{2}=8,\quad b^{2}=8$

Beraz, hiperbolaren ekuazioa:

${\frac {x^{2}}{8^{2}}}-{\frac {y^{2}}{8^{2}}}=1$

↑ Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press.
↑ Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.
↑ O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. «Apollonius of Perga» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.
↑ Zill, Dennis; Dewar, Jacqueline (2012). «11. Temas de Geometría Analítica». En López Hernández, Sergio, ed. Álgebra, trigonometría y geometría analítica (Carril Villarreal, María del Pilar, trad.). Ciudad de México.: McGraw-Hill/Interamericana Editores S.A. de C.V. p. 499.
↑ Lehmann, Charles H. (1988). Geometría Analítica (Rafael García Díaz y Marcelo Santaló Sors, trads.). Ciudad de México: Editorial Limusa S.A. de C.V.
↑ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la-ecuacion-de-la-hiperbola.html

[1] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press.

[2] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

[3] O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. «Apollonius of Perga» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

[4] Zill, Dennis; Dewar, Jacqueline (2012). «11. Temas de Geometría Analítica». En López Hernández, Sergio, ed. Álgebra, trigonometría y geometría analítica (Carril Villarreal, María del Pilar, trad.). Ciudad de México.: McGraw-Hill/Interamericana Editores S.A. de C.V. p. 499.

[5] Lehmann, Charles H. (1988). Geometría Analítica (Rafael García Díaz y Marcelo Santaló Sors, trads.). Ciudad de México: Editorial Limusa S.A. de C.V.

[6] ttps://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejercicios-de-la-ecuacion-de-la-hiperbola.html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]