Triangelu

Wikipedia, Entziklopedia askea
Hiruki» orritik birbideratua)

Triangelua, hiru alde eta hiru erpin dituen poligonoa da, geometriako funtsezko irudietako bat. A, B eta C erpinak dituen triangelua ABC bezala adierazten da. Hirukia ere erabiltzen da triangelua izendatzeko,  poligonoaren barrutia osatzen duten hiru angeluak direla eta.[1]

Notazioa eta elementuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erpinak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

triangelua, , eta ertzak eta barne angeluak

Triangeluaren punta bakoitza definitzen duen puntua erpina deitzen da. Beste irudi geometrikoetan bezala, erpinak letra larriz izendatu ohi dira: eta (edo bestelako letrak erabiliz). bada, ez da existitzen A, B eta C erpinek definitutako triangelua.

Triangeluak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, adibidez, ABC. Gainera, erpinak edozein ordenatan eman daitezke, konbinazioak 6 izanik guztira

Ertzak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erpin bikote bakoitzak segmentu bat zehazten du, triangeluaren ertz izenez ezagutzen dena. Ertzak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, eta ez du garrantzirik erpinen ordena, hau da, eta notazioek ertz berdina adierazten dute.

Ertz baten luzera adierazteko, letra xehea erabiltzen da, adibidez, erpinaren aurkako ertza adierazteko, .

Triangelu baten hiru ertzen baturari perimetro deritzo, eta p notazioz adierazten da:

Angeluak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erpin berdina duten bi ertzek mugatutako espazio zatiari angelu deritzogu. eta ertzak mugatutako angelua bezala adierazten da. Normalean letra grekoz idazten dira angeluak.

Triangelu motak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangeluak kategorizatzeko terminologiak bi mila urte baino gehiago ditu, Euklides-en Elementuak liburuko lehenbiziko orrialdean definituta egonik.  Gaur egungo banaketan erabiltzen diren izenak, liburu horretan agertzen diren hitz grekoen itzulpen zuzenak, edo haien latineko itzulpenaren itzulpen berriak dira.

Aldeen neurriaren araberako sailkapena:[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Euklides matematikari grekoak (3000 K.a.) hiru triangelu mota desberdin definitu zituen aldeen neurriari erreparatuz:

Grekoz: “τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς”, literalki “Hiru aldeko irudien gainean, isopleuron[aldekide] triangelu bat hiru aldeak neurri berekoak dituen triangelua da, isosceles[isoszelea] hiru aldeetariko bik neurri bera duten triangelua, eta scalene[eskalenoa] hiru aldeen neurriak desberdinak dituen triangelua.”[2]

  • Triangelu aldekideak (Grekoz: ἰσόπλευρον, erromanizatua: isopleureon, lit. “alde berdinak”) hiru aldeak neurri berekoak ditu. Gainera, triangelu aldekide bat angelu guztiak 60 gradukoak dituen poligono erregularra da.
  • Triangelu isoszeleak (Grekoz: ἰσοσκελὲς, erromanizatua: isoskelés, lit. “hanka berdinak”) bi alde neurri berekoak ditu. Honez gain, triangelu isoszele baten bi angeluk ere neurri bera dute, neurri bera duten aldeen aurkako angeluak, hain zuzen ere[3]. Egia hau triangelu isoszelearen teoremaren mamia da, zein Euklidesentzat ezaguna zen. Matematiko batzuen definizioaren arabera, triangelu isoszelea neurri bereko zehazki bi alde dituen triangelua da; aldiz, beste batzuen definizioan, bederen bi alde berdin dituen triangelua da isoszelea. Bigarren definizio honek triangelu aldekideak isoszeleak ere badirela inplikatzen du[4]. Adibide gisa 45-45-90 triangelu zuzena dugu, zein tetrakis triangeluaketan agertzen den.
  • Triangelu eskalenoak (Grekoz: σκαληνὸν, erromanizatuta: skalinón, lit.  “desberdina”) bere hiru aldeak neurri desberdinekoak ditu[5]. Era berean, angelu guztiak desberdinak ditu.

Hatch markak, Hash markak ere deiturikoak, triangeluen eta beste irudi geometrikoen diagrametan erabiltzen dira neurri bereko aldeak identifikatzeko. Alde bat markatuta egoten ahal da “tick”-en patroi batekin (tally markez osaturiko segmentu zuzen laburrak). Bi alde neurri berekoak dira, patroi berdinaren bidez markatuta badaude.

Triangeluen kasuan, gehienetan patroia ez da hiru marka baino gehiagoz osatuta egoten. Triangelu aldekide batek patroi bera du alde guztietan, isoszele batek bi aldetan bakarrik eta eskaleno batek patroi ezberdina du bere alde guztietan.

Modu antzekoan, angeluen barnean marrazturik, bat, bi edo hiru arku zentrokidez osaturiko patroiak erabiltzen dira angelu berdinak adierazteko: triangelu aldekide batek patroi bera du hiru angeluetan; triangelu isoszele batek patroi bera du bi angelutan bakarrik; eta triangelu eskaleno batek patroi desberdina du hiru angeluetan.

Barne-angeluen neurriaren araberako sailkapena:[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangeluak ere, haien barne-angeluen neurriagatik sailka daitezke (angeluak gradutan neurtzen dira).

  • Triangelu zuzena (edo triangelu angeluzuzena), barruko angelu bat 90°-koa duen triangelua da; hau da, angelu zuzen bat daukan triangelua. Angelu horren aurkako aldeari hipotenusa deritzogu, hau triangeluaren alderik luzeena da. Beste bi aldeak triangeluaren katetoak dira[6]. Triangelu mota hauetan aplikatzen da Pitagorasen teorema: bi katetoen berreketen batura hipotenusaren berreketaren berdina da. Hau da, hipotenusaren neurriari a deituz, eta katetoenei b eta c;  . Triangelu zuzen berezi bat 45-45-90 triangelua da, zein triangelu zuzen isoszelea den. Honen bi angeluek 45 gradu dituzte, eta hirugarrenak 90.

Zuzenak ez diren triangeluei triangelu zeiharren izena ematen zaie, barne-angelu zuzenik ez duten triangeluei, hain zuzen ere.

  • Triangelu baten barruko angelu guztiek 90 gradu baino gutxiago neurtzen badute, triangelu hori zorrotza dela esaten da. Kasu honetan, a alde luzeenaren neurria bada, hurrengoa betetzen da: ; b eta c beste bi aldeen neurriak izanik.
  • 90 gradu baino gehiago neurtzen duen barne-angelu bat duten triangeluei, triangelu kamutsak deritze. Hauen kasuan, aldeak aurreko moduan izendatuz, hurrengoa betetzen da: .
  • Geometria ez-euklidearrean, triangelu baten angelu batek 180 gradu baina gehiago neurtzen badu, triangelu hau endekatua dela esaten da.

Bi angelu berdin dituen triangeluak bi alde neurri berekoak edukiko ditu halaber, triangelu isoszele bat izanik. Era berean, angelu guztiak berdinak dituen triangeluak alde guztiak neurri berekoak edukiko ditu, triangelu aldekide bat izanik.

Triangeluaren aldeen eta angeluen araberako sailkapena:[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu zorrotzak izan daitezke:

  • Triangelu zorrotz isoszeleak: angelu guztiak zorrotzak dira, bi berdinak dira eta bestea ezberdina. Triangelu hauek simetrikoak diraalde ezberdinetik duten altuerarekiko.
  • Triangelu zorrotz eskalenoak: angelu guztiak zorrotzak eta ezberdinak dira haien artean eta ez dute simetria-ardatzik.
  • Triangelu zorrotz aldekideak: haien hiru aldeak eta hiru angeluak berdinak dira. Beraien hiru altuerak simetria-ardatzak dira (triangelua bi triangelu berdinetan banatzen dute).

Triangelu zuzenak izan daitezke:

  • Triangelu zuzen isoszeleak: angelu zuzen bat eta bi angelu zorrotz berdinak dituzte (45º-koak bakoitza). Bi alde berdinak dira eta bestea desberdina. Alde berdinak katetoak dira eta ezberdina hipotenusa da. Triangelua hipotenusaren altuerarekiko simetrikoa da.
  • Triangelu zuzen eskalenoa: angelu zuzena du, eta alde eta angelu guztiak ezberdinak dira.

Triangelu kamutsak izan daitezke:

  • Triangelu kamuts isoszeleak: angelu obtuso bat du. Angelu obtusoa 90 ° baino gehiago neurtzen duen angelua da, baina, aldi berean, 180 ° baino gutxiago neurtzen duena. Angelu obtusoa osatzen duten bi aldeak berdinak dira eta beste aldea bi hauek baino handiagoa da.
  • Triangelu kamuts eskalenoa: angelu obtuso bat du eta bere alde guztiak ezberdinak dira.

Aldeen eta angeluen kalkulua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten aldeen luzerak edota angeluen neurriak kalkulatzeko hainbat metodo daude. Metodo batzuk triangelu angeluzuzenetarako erabilgarriak diren bitartean, egoera konplexuagoetan beste metodo batzuk erabiliko dira.

Orokorrean ,triangeluak ebazteko, sinu eta kosinuaren teoremak erabiltzen dira. Hala ere, triangelu angeluzuzenen kasuan Pitagorasen teorema erabili ohi da.

Arrazoi trigonometrikoak triangelu angeluzuzenetan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu angeluzuzenetan sinu, kosinu eta tangentearen arrazoi trigonometrikoak erabil daitezke angeluen neurria edota alde ezezagunen luzera

Triangelu angeluzuzenak 90º-ko angelu bat dauka beti.

kalkulatzeko. Arestian aipatu bezala, hauen aldeak ondoko eran izendatzen dira:

  • Angelu zuzenaren aurkako aldeari hipotenusa deritzo. Triangelu angeluzuzen baten alderik luzeena izan ohi da.
  • Beste bi aldeak katetoak dira.

Eta angelu zorrotz baten arabera hurrengoa daukagu:

  • Angelu zorrotz horren aurkako aldeari aurkako kateto deritzo.  
  • Angelu zorrotz hori osatzen duen aldeari alboko kateto deritzo.

Sinu, kosinu eta tangente[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angelu baten sinua aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.

.

Angelu baten kosinua alboko katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.

.

Angelu baten tangentea aurkako eta alboko katetoen luzeren arteko zatidura da.

.

Oharra: Erlazio hauetako zatidurak ez dira triangelu angeluzuzenaren tamainaren menpekoak.

Alderantzizko funtzioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak triangelu angeluzuzen baten barneko angeluen neurria kalkulatzeko erabil daitezke, betiere edozein bi alderen neurria jakinda.

Aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arcsin (arkosinu) funtzioa erabil daiteke angelu baten neurria kalkulatzeko.

Alboko katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arccos (arkokosinu) funtzioa erabil daiteke.

Aurkako eta alboko katetoen luzerak jakinda, arctan (arkotangente) funtzioa erabil daiteke.

Trigonometria eta geometriari buruzko sarrera kurtsoetan notazioa erabiltzen dira maiz eta erabili beharrean. Hala ere, maila altuagoko matematiketan eta da ohiko notazioa.  

Triangelu baten azalera.[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten azalera kalkulatzeko, hainbat metodo daude:

Altueraren bitartez[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Formularik sinpleena eta ezagunena hurrengoa da: , non b triangeluaren  oinarriaren luzera eta h triangeluaren altuera den. Oinarri bezala edozein alde har daiteke, eta altuera alde horretatik aurkako erpinerainoko elkarzuta da.

Hala ere, formula hau bakarrik da erabilgarria altuera arazorik gabe lor daitekeenean.  

-ren deribatu grafikoa.

Trigonometriaren bitartez[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Trigonometriaren bitartez, altuera lor dezakegu, aurreko formulan erabiltzeko. Irudiaren notazioa erabiliz:

Aldeen luzeraren bitartez (Heronen formula)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Soilik aldeen luzerak jakinda kalkula daiteke triangelu baten azalera, Heronen formula erabiliz:

,

non a, b eta c triangeluaren aldeak diren. Erdiparametroa erabiliz (s):

p triangeluaren erdiparametroa izanik:

Perimetro berdineko triangeluen artean, triangelu aldekideek dute azalerarik handiena.

Bektoreen bitartez[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez AB eta AC eta erpinak eta eta erpinak lotzen dituzten bektoreak, hurrenez hurren. Orduan, triangeluaren azalera era honetan lor daiteke:

.

Erpinen koordenatuen bitartez[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erpinak bi dimentsioko plano batean badaude, , eta erpinen koordenatuak , eta izanik, determinantea erabiliz, hau izango da triangeluaren azalera:

Hiru dimentsiotan, ABC triangeluaren erpinen koordenatuak , eta izanik, honela kalkulatzen da triangeluaren azalera:

Triangeluen antzekotasuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu antzekoak izateko irizpideak hurrengoak dira:

  • AA irizpidea (angelua, angelua). Triangeluaren bi angelu antzekoak badira.
  • LAL irizpidea (Aldea, Angelua, Aldea). Bi alde proportzionalak badira eta haien arteko angelua kongruentea bada (bi triangelu kongruenteak dira baten bi aldeek beste triangeluaren bi aldeen luzera berdina badute, eta alde horien arteko angeluek ere neurri bera badute).
  • LLL irizpidea (Aldea, Aldea, Aldea). Hiru aldeak proportzionalak badira.

Triangelu zuzenen antzekotasuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi triangelu zuzenak antzekoak izateko, gutxienez hurrengo irizpidetako bat bete behar dute:

  • Batak bestearen angelu akutuaren anplitude bereko angelu akutua badu (angelu akutua angelu zuzena baino txikiagoa da).
  • Baten bi katetoak bestearenekin proportzionalak badira.
  • Baten kateto bat eta hipotesuna bestearenekin proportzionalak badira.

Triangeluen kongruentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Aldea, Angelua, Aldea: bi triangelu kongruenteak dira baten bi aldeek beste triangeluaren bi aldeen luzera berdina badute, eta alde horien arteko angeluek ere neurri bera badute.
  • Angelua, Aldea, Angelua: bi triangelu kongruenteak dira, baldin eta barneko bi angeluk eta haien arteko aldeak neurri eta luzera bera badute, hurrenez hurren.
  • Aldea, Aldea, Aldea: bi triangelu kongruenteak dira, baldin eta triangelu baten alde bakoitzak beste triangeluaren luzera bera badu.

Triangelu zuzenen kongruentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Hipotenusa, Katetoa irizpidea: triangelu zuzen bi kongruenteak dira, baldin eta triangeluetako baten hipotenusak eta katetoak beste triangeluarenak adinako neurria badute.
  • Katetoa, Katetoa irizpidea: triangelu zuzen bi kongruenteak dira triangeluetako baten katetoek bestearen katetoen neurri bera badute.
  • Hipotenusa, Angelua irizpidea: bi triangelu zuzen kongruenteak dira, baldin eta hipotenusak eta triangeluetako baten angelu akutuak bestearen neurri bera badute.
  • Katetoa, Angelua irizpidea: bi triangelu zuzen kongruenteak dira, baldin eta triangelu baten katetoak eta angelu akutu batek (albokoak edo kontrakoak) beste triangeluari dagozkion angeluen neurri bera badute.

Triangeluaren existentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aldeen baldintza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Desberdintza triangeluarrak dio triangelu baten edozein bi alderen luzeraren gehiketa hirugarren aldearen luzera baino handiagoa izan behar dela. Beraz, hiru aldeen luzera emanik, luzera horiek dituzten aldeez osaturiko triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin aldeek desberdintza triangeluarra betetzen badute.

Angeluen baldintza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hiru angelu izanik, triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin hurrengo bi baldintzak betetzen badira:

  1. Angelu guztiak positiboak izan behar dira.
  2. Angeluen batura 180° izan behar da.

Baldintza trigonometrikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hiru angelu positibok (alpha, beta eta gamma), bakoitza 180° baino gutxiagokoa, triangelu bat sor dezakete baldin eta soilik baldin hurrengo baldintzetako bat betetzen bada:

Azkeneko berdintzarako beharrezkoa da angelu guztiak 90°–ren desberdin izatea.

Triangeluen propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelua hiru erpinetako poligono zein hiru aldetako poligono bezala defini daiteke. Triangelua poligonorik sinpleena eta diagonalik gabeko poligono bakarra da. Lerrokatuta ez dauden hiru puntuk beti definitzen dute triangelu bat, bai espazioan, bai planoan.

Edozein poligono zatitu daiteke triangelu kopuru finitu batean, ondokoak ez diren erpinak lotuz. Zatiketa hau egiteko triangelu kopuru minimoa n-2 da, n triangeluaren alde kopurua izanik (adibidez, karratua (n=4) bi triangelutan zatitzen da, karratuan diagonal bat marraztuz)[7]. Triangeluen ikasketa funtsezkoa da beste poligonoen ikasketa aurrera eramateko, adibidez, Pick-en Teorema frogatzeko.

Geometria euklidearrean, triangelu baten barneko angeluen batuketa 180º-koa da, π radian-ekiko baliokidea dena:

Propietate hau geometria euklidearraren emaitza da. Orokorrean, geometria ez-euklidearrean ez da betetzen.

Bestelako propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Triangelu baten bi alderen luzeren batura beti izango da beste aldearen luzera baino handiagoa.

  • Triangeluak poligono ganbilak dira beti, alegia, 180º baino gutxiago neurtzen duten barne-angeluak dituzten poligonoak. Propietate hau beti betetzen duten poligono bakarrak dira.
  • Triangeluak ezin daitezke poligono ahurrak izan, alegia, ezin dute 180º baino handiagoko barne-angelu bat eduki. Izan ere, bere barne angeluen batura 180º da.
  • Sinuaren teorema: “Triangelu baten aldeak aurkako angeluen sinuekiko proportzionalak dira”.

  • Kosinuaren teorema: “Triangeluaren alde baten karratua beste bi aldeen karratuen batura ken hauen arteko biderketaren bikoitzaren bider hauek
    Pitagorasen teorema grafikoki.
    osatzen duten angeluaren kosinuaren berdina da”

  • Pitagorasen teorema: a eta b neurtzen duten katetoak eta c neurtzen duen hipotenusa dituen triangelu angeluzuzen batean, ondokoa betetzen da:

Triangeluarekin erlazionatutako zuzenak, zirkuluak eta puntu nabariak.[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Barrualdea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi plano euklidearreko puntu bat. Puntu hori triangeluaren barrualdekoa dela esaten da, triangeluaren “barnean” badago. Matematikoki esanda, puntu bat barrualdekoa dela esango dugu, puntutik pasatzen den zuzen bat marratzean, puntua zuzenak triangeluarekin ebakitzen duen puntuen artean badago[1].

Muga eta kanpoaldea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten hiru aldeak bere muga osatzen dute. Aldiz, triangeluaren barrualdean edo mugan ez dauden puntuak triangeluaren kanpoaldean daudela esaten da.  

Mediana[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten medianak[8].

Erpin batetik kontrako aldeko erdiko puntura doan zuzen segmentuari mediana esaten zaio. Medianaren propietate batzuk hurrengo hauek dira:

-Triangelu baten hiru medianak ebakitzen diren puntuari triangeluaren barizentroa esaten zaio.

-Mediana bakoitzak azalera berdineko bi triangelutan banatzen du triangelua. Barizentroaren eta erpin baten arteko distantzia medianaren 2/3 da.

-Hiru medianek azalera berdineko sei triangelutan banatzen dute triangelua.

Apolonioren teorematik hurrengo taulan agertzen diren formula praktikoak deduzitzen dira:

Erdibitzailea eta zirkunskribatutako zirkunferentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten erdibitzaileak eta zirkunskribatutako zirkunferentzia.

Triangelu baten alde bateko erdibitzailea alde horrekiko perpendikularra den eta aldearen erdiko puntutik pasatzen den zuzenari deritzo. Triangeluek hiru erdibitzaile dituzte: alde bakoitzeko bat. Hiru erdibitzaileak puntu berean ebakitzen dira. Puntu horri zirkunzentro deritzo.

  • Triangelu zorrotzetan, zirkunzentroa triangeluaren barrualdean dago.
  • Triangelu kamutsetan, zirkunzentroa triangeluaren kanpoaldean dago.
  • Triangelu zuzenetan, zirkunzentroa triangeluaren hipotenusaren erdiko puntuan dago.

Erdikariak, inskribatutako zirkunferentzia eta exinskribatutako zirkunferentzia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten erdikariak eta inskribatutako zirkunferentzia.

Triangelu baten erdikariak bere angeluen erdikariak dira. Barruko eta kanpoko erdikariak existitzen dira.

Triangelu baten barruko hiru erdikariak ebakitzen diren puntuari inzentrua esaten zaio. Triangelu baten inskribatutako zirkunferentzia, hiru aldeei ukitzaile den zirkunferentzia bakarra da, zentrotzat inzentrua duena.

Bi angeluren kanpoko erdikariak eta hirugarren angeluaren barruko erdikaria ebakitzen diren puntuari exinzentro deritzo. Hiru exinzentro existitzen dira triangelu bakoitzean eta, horrekin batera, exinskribautako hiru zirkunferentzia, triangeluaren alde bakoitzari ukitzaile direnak.

Altuerak eta ortozentroa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Triangelu baten erpina eta kontrako aldea (edo bere luzapena) elkartzen dituen zuzen segmentu perpendikularrari triangeluaren altuera esaten zaio[9]. Kontrako aldeari triangeluaren oinarria deitzen zaio.

Triangeluaren hiru altuerak ebakitzen diren puntuari ortozentro deritzogu[10].

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. a b Moise, Edwin E.. (1982). Geometría moderna. Fondo Educativo Interamericano ISBN 968-5000-17-4. PMC 651287073. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
  2. Euclid. (2002). Euclid's Elements : all thirteen books complete in one volume : the Thomas L. Heath translation. Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7. PMC 50274369. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
  3. Weisstein, Eric W.. Isosceles Triangle. MathWorld.
  4. Benítez, René.. (2007). Geometría plana. Trillas ISBN 978-968-24-8157-4. PMC 427516571. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
  5. Weisstein, Eric W.. Scalene triangle. MathWorld.
  6. Oxford user's guide to mathematics. Oxford University Press 2004 ISBN 978-0-19-152318-2. PMC 132687779. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
  7. G.M., Bruño. Elementos de Geometría. .
  8. Déplanche, Y.. (1996). Diccio fórmulas. (1. ed. argitaraldia) EDUNSA ISBN 84-7747-119-3. PMC 40633171. (Noiz kontsultatua: 2022-11-30).
  9. Weissten, Eric W.. Altitude. MathWorld.
  10. Weisstein, Eric W.. Orthocenter. MathWorld.