Koaternioi

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak

Zenbaki arruntak
Zenbaki osoak
Zenbaki arrazionalak
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki errealak
Zenbaki konplexuak
Zenbaki aljebraikoak
Zenbaki transzendenteak

Konplexuen hedadurak

Koaternioiak
Oktonioiak
Zenbaki hiperkonplexuak

Bestelakoak

Zenbaki kardinalak
Zenbaki ordinalak
Zenbaki lehenak
π = 3.141592654…
e = 2.718281828…
i unitate irudikaria
infinitua
Φ = 1,6180339887...

Zenbaki-sistemak

Zenbaki-sistema hamartarra
Zenbaki-sistema bitarra
Zenbaki-sistema hamaseitarra
Zenbaki-sistema zortzitarra

Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

(a1 + b1i + c1j + d1k ).(a2 + b2i + c2j + d2k) =

a1 a2 + a1 b2i + a1c2j + a1 d2k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

a1 a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1 b2i + b1a2i + c1d2i - d1c2i + a1c2j + c1a2j - b1d2j + d1b2j + a1 d2k + d1a2k + b1c2k - c1b2k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

(a1 a2 - (b1b2 + c1c2 + d1d2)) 1 + (a1 b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2) i + (a1c2 + c1a2 - b1d2 + d1b2) j + (a1 d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2) k

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

eta

non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.