LU faktorizazio

Wikipedia, Entziklopedia askea

Aljebra linealean, LU faktorizazioa edo LU deskonposaketa (ingelesezko Lower-Upper-etik) matrize bat faktorizatzeko modu bat da, zeinak emaitza gisa bi matrize ematen dituen: bata behe-triangeluarra eta bestea goi-triangeluarra. Faktorizazio modu hau gehienbat ekuazio-sistemak eraginkorrago ebazteko erabiltzen da, edo alderantzizko matrizeak aurkitzeko, besteak beste. LU faktorizazioa burutzeko oinarrizko matrizeak erabili ohi dira.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi matrize alderantzikagarri bat (ez balitz baliteke emaitza desberdinak egotea). Jakina da dela, non eta matrize behe- eta goi-triangeluarrak diren hurrenez hurren.

motako matrizeentzat honakoa dugu:.

Bestalde, PLU deskonposaketak honako itxura du:

Non matrize behe-triangeluarrak diren, permutazio-matrizeak eta matrize goi-triangeluarra.

zein den jakin nahi badugu, honakoa egin behar da:

bakoitza honakoa delarik:

=

Hori hala da -ren berdina delako, baina azpidiagonaleko elementuak permutatuta dituela. Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

Faktorizazio modu hau ikusteko beste modu bat honakoa da: . Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

Aplikazioak eta adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio-sistemen ebazpena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

LU faktorizazioak ekuazio-sistemen ebazpena erraztu dezake, ekuazio edo ezezagun ugariko sistemetan. Hartarako, Gauss-Jordanen metodoa gogoratzea komeni da lehenik.

Izan bedi honako ekuazio-sistema:

Sistemari matrize-forma emanez honakoa dugu:

Eta hura garatuz, oinarrizko matrizeak erabiliz:

Jakina denez L-1 matrizea erabilitako oinarrizko matrize guztien arteko biderketa dela:

Haren alderantzizkoa izango da L matrizea, zeina kalkulatzeko oinarrizko matrizeen propietateak erabil daitezkeen:

Beraz, ateratako L eta U matrizeen arteko biderketa izango da A matrizearen LU faktorizazioa:

Definizioan esan bezala, goiko adierazpenean ikus daiteke L eta U matrizea triangeluarrak direla, lehena behe-triangeluarra eta bigarrena goi-triangeluarra. Behin LU faktorizazioa edukita, interesgarria izan daiteke haren U osagaia erabiltzea ekuazio-sistema ebazteko, izan ere, matrizea forma triangeluarrekoa izanda, ekuazio-sistema berehalakoa bihurtzen da. Hartarako U kalkulatu bitartean eskuratu dugun gai-askeen zutabe-matrizea berreskuratu behar dugu eta honakoa gogoratu:

Beraz, matrizeak ekuazio-sistema gisa adierazita:

Eta ekuazio-sistema hori berehalakoa da: , eta .

LU faktorizazioari errendimendu handiagoa ateratzeko, ekuazio sistema honela ere ebatz daiteke:

  1. Lehenik, ebatzi, Interpretazio errorea (MathML posible bada (proba fasean): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle y} aldagaia ateraz.
  2. Ondoren, ebatzi, aldagaia ateraz.

Alderantzizko matrizearen kalkulua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Alderantzizko matrizeak kalkula daitezke LU faktorizazioa erabiliz, honako formula jarraituz:

Zenbait programa informatiko formula horretan oinarritzen dira.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]