Lankide:Egonichan/Proba orria

Eragiketa bat bitarra da baldin eta soilik baldin $x\circ y=y\circ x$betetzen bada $x$eta $y$bakoitzeko. Irudi honetan ikusten den bezala, ez dio axola eragingaiak zein ordenatan sartzen diren, aterako den emaitza baliokidea izango baita.

Matematika arloan, eragiketa bitar bat trukakorra izan daiteke, eragingaien ordena aldatzeak eragiketaren emaitzan eraginik ez badauka. Horri trukakortasuna edo propietate trukakorra esaten zaio. Eragiketa bitar askoren oinarrizko propietatea da, eta froga matematiko asko horren menpe daude.

Propietate hau batuketekin eta biderketekin erabil daiteke, baina ez kenketekin eta zatiketekin. Trukakorrak ez diren eragiketei "eragiketa ez-trukakorrak" esaten zaie. Trukakortasunaren propietatea lehenagotik erabilia izan zen arren, 19. mendea arte ez zen izendatu, matematika garai hartan hasi baitzen formalizatzen. Propietate hau erlazio bitarretan aplikatzeari simetria deritzo. Esate baterako, berdintza simetrikoa da, bi adierazpen matematikok balio bera itzultzen dutelako, euren hurrenkerari begiratu gabe.

Definizio matematikoa

Informazio gehiago: Funtzio simetrikoa

Trukakortasun terminoa definizio hauen menpe dago:

• Eragiketa bitar bat, $*$, trukakorra izango da S multzoan baldin eta:

$x*y=y*x\qquad \forall x,y\in S$

Propietate hori asetzen ez duen eragiketari "ez-trukakorra" esaten zaio.

• Funtzio bitar bat trukakorra izango da baldin eta:

$f:A\times A\rightarrow B\qquad f(x,y)=f(y,x)\qquad \forall x,y\in A$

Adibideak

Eragiketa trukakorrak eguneroko bizitzan

• 

  Trukakortasuna sagarren bidez adierazita. Zenbaki naturalen batuketa irudikatuz, eragiketa trukakorra da.

  Galtzerdiak janztea ekintza trukakor bat da. Hasieran ezkerreko galtzerdia janztea eta ondoren eskumakoa, edota alderantziz egitea, gauza bera da. Ondorioa bera izango da, bi galtzerdiak jantzita edukitzea alegia. Aldiz, azpiko arropak eta galtzak janztea ez da ekintza trukakorra, hasieran galtzak janzten badira ondoren ezin direlako azpiko arropak jantzi.
• Beste adibide bat zerbait ordaintzerakoan gertatzen da. Berdin dio txanponak zein ordenatan ematen diren, ordaindu beharreko kopurua berdina izango baita.

Eragiketa ez-trukakorrak eguneroko bizitzan

• Kateamendua esaterako. Karaktere-kateak elkartzea ekintza ez-trukakorra da. Adibidez: EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA
• Lixiba egitea eta arropa lehortzea ere ekintza ez-trukakorrak dira. Bi ekintzak zein ordenatan egiten diren, ondorio oso desberdinak lortzen dira.

Eragiketa trukakorrak matematikan

Bektoreen batura trukakorra da; izan ere, ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$ betetzen da.

• Zenbaki errealen arteko batuketa trukakorra da; izan ere,

$x+y=y+x\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

Esate baterako, 3 + 4 = 4 + 3, bi adierazpenek 7 itzultzen baitute emaitza gisa.

• Zenbaki errealen arteko biderketa trukakorra da; izan ere,

$xy=yx\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

Esate baterako, 2 × 5 = 5 × 2, bi adierazpenek 10 itzultzen baitute emaitza gisa.

• Beste adibide batzuk aipatzearren, zenbaki konplexuen arteko batuketa eta biderketa, bektoreen arteko biderketa eskalarra eta multzoen arteko bilketa eta ebaketa ere trukakorrak dira.

Eragiketa ez-trukakorrak matematikan

• Zenbaki errealen arteko kenketa ez da trukakorra:

$x-y\neq y-x\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

Esate baterako, 3 - 5 ≠ 5 - 3, adierazpen batek -2 itzuliko baitu emaitza gisa, eta besteak, aldiz, 2.

• Zenbaki errealen arteko zatiketa ez da trukakorra:

${\frac {x}{y}}\neq {\frac {y}{x}}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

Esate baterako, 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8, adierazpen batek 4 itzuliko baitu emaitza gisa, eta besteak, aldiz, 0,25.

• Beste adibide batzuk aipatzearren, egia-taulak, matrizeen arteko biderketak, eta bektoreen arteko biderketa bektoriala ez dira trukakorrak.