Lankide:Julortiz/Proba orria

Wikipedia, Entziklopedia askea

Lehen ordenako logika, logika predikatzailea, predikatuen logika edo predikatuen kalkulua ere deitzen dena, lehen ordenako hizkuntzen inferentzia aztertzeko diseinatutako sistema formala da. Lehenengo orden hizkuntzak, era berean, banakako aldagaiei bakarrik iristen diren zenbatzaileak dituzten hizkuntza formalak dira, eta argudioak konstanteak edo aldagai indibidualak dituzten predikatuak eta funtzioak baino ez dira.

Lehen ordenako logikak, logika proposizionala baino adierazkorragoa da.

Sarrera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Garapen historikoa eta lehenengo ordenaren logikaren aplikazioak matematikekin lotura handia dutenez, jarraian harreman hori kontenplatu eta ilustratuko duen sarrera egingo da, matematikatik eta lengoaia naturaletik datozen adibideak hartuz. Lehendabizi sistemaren oinarrizko kontzeptu bakoitza aurkezten da, eta gero argudioak nola erabiltzen diren erakusten da.

Predikatuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Predikatua esaldi bat osatzeko beste adierazpen batekin edo batzuekin konektatu daitekeen adierazpen linguistikoa da. Adibidez, "Marte planeta bat da" esaldian "planeta bat da" esaldia "Marte" esaldiarekin lotzen den predikatua da. Eta "Jupiter Marte baino handiagoa da" esaldia "baino handiagoa da" esaldiak "Jupiter" eta "Marte" lotzen dituen predikatua da.

Logika matematikoan, predikatu batek adierazpen batekin lotzen denean, propietate bat adierazten duela esaten da (planeta bat izatearen propietatea esate baterako), eta bi espresio edo gehiagorekin lotzen denean, harreman bat adierazten duela esaten da (adibidez, zerbait baino handiagoa izatea). Hala ere, lehen ordenako logikak ez du inolako hipotesirik egiten propietateak edo harremanak existitzen diren ala ez. Hitz egiteko eta arrazoitzeko modua aztertzeko esamolde linguistikoak erabilizea bakarrik dagokio.

Lehenengo orden logikan, predikatuak funtzio gisa tratatzen dira. Funtzio bat da, metaforikoki hitz eginez, gauza multzo bat jasotzen duen makina, prozesatu egiten dituena eta emaitza bakarra itzultzen duena. Funtzioetan sartzen diren gauzei argumentu deitzen zaie eta ateratzen diren gauzei balio edo irudi. Ikus ezazu, ondorengo funtzio matematikoa:

f(x) = 2x

Funtzio honek zenbakiak argumentu gisa hartzen ditu eta zenbaki gehiago balio gisa itzultzen ditu. Adibidez, 1 zenbakia hartzen baduzu, 2 zenbakia itzultzen du, eta 5a hartzen baduzu, 10 itzuliko du. Lehenengo orden logikoan, predikatuak zenbakiak baino argumentu gehiago hartzen dituzten funtzioak bezala tratatzea proposatzen da, adibidez "Marte", "Merkurio" eta gero ikusiko diren beste batzuk. Horrela, "Marte planeta bat da" esaldia transkribatu daiteke, funtzioen notazio egokia jarraituz, honela:

Planeta(Marte)

Edo gehiago laburbilduz:

P(m)

Matematikan hainbat argumentu hartzen dituzten funtzioak ere existitzen dira. Adibidez:

f(x,y) = x + y

Funtzio honek, 1 eta 2 zenbakiak hartzen baditu, 3 zenbakia itzultzen du eta -5 eta -3 hartzen baditu, -8 itzultzen du. Ideia horri jarraituz, lehen ordenako logikak erlazioak adierazten dituzten predikatuak tratatzen ditu, bi argumentu edo gehiago hartzen dituzten funtzio gisa. Adibidez, "Cain Abel hil zuen" esaldia honela formaliza daiteke:

Hil(Cain,Abel)

Edo laburbilduz:

H(c,a)

Prozedura hau entitate askoren arteko harremanak adierazten dituzten predikatuei aurre egiteko erabili daiteke. Adibidez, "Ana, Bruno eta Carlosen artean eserita dago" esaldia honela formaliza daiteke:

E(a,b,c)

Banakako konstanteak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Konstante indibiduala entitate bati egiten dion adierazpen linguistikoa da. Adibidez, "Marte", "Jupiter", "Cain" eta "Abel" banakako konstanteak dira. Zenbakiak deitzen diren adierazpenak, "1", "2" eta abar ere banakako konstanteak dira. Entitate batek ez du zertan existitu beharrik horri buruz hitz egin ahal izateko, beraz, lehen ordenako logikak ere ez du hipotesirik egin behar entitateak aipatzen dituen konstanteen existentziari buruz.

Banakako aldagaiak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Entitate jakin batzuek erreferentzia egiten dituzten banakako aldagaiez gain, lehen ordenako logikak baditu beste adierazpen batzuk, aldagaiak, hauen erreferentziak zehazturik ez daudenak. Aldagaiak, oro har, latindar alfabetoaren amaieratik hizki xehez ordezkatzen dira, batez ere x, y, eta z. Era berean, matematiketan, f (x) = 2x funtzioko x-k ez du zenbaki partikularrik adierazten, baizik eta zenbaki desberdinak txertatu ahal izateko espazio huts bat bezala. Bukatzeko, "hau zaharra da" bezalako adierazpena irudikatu dezakegu:

Zaharra(x)

Edo laburbilduz:

Z(x)

Bistakoa da, hala ere, x-k zer aipatzen duen zehaztu arte, ezin dela egiazko balioa esleitzea "hau zaharra da" adierazpenari, x-ren balioa zehaztu arte f (x) = 2x funtzioan, ezin izango da funtzioaren baliorik kalkulatu.

Jakina, banakako konstanteekin gertatzen den moduan, aldagaiek harremanak formalizatzeko ere balio dute. Adibidez, "hau beste gauza hau baino handiagoa da" esaldia honela formalizatzen da:

H(x,y)

Gainera, konstanteak banakako aldagaiekin konbinatu ditzakezu. Adibidez, "bera Bruno eta Carlosen artean eserita dago" esaldian:

E(x,b,c)

Zenbatzaileak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Orain kontuan hartu honako adierazpen matematikoa:

x > 3

Adierazpen hau ez da egiazkoa ezta faltsua eta dirudienez ez da bietako bat izango x beste zenbaki batekin ordezkatzen dugun arte. Hala ere, posiblea da egiazko balio bat ematea esaldiari aurretik zenbatzaile bat jartzen baldin bazaio. Zenbatzailea banako multzo baten eragilea da, baliabide adierazkor bat da multzoen gainean proposizioak sortzeko ahalmena ematen diguna, edo beste modu batera esanda, zenbatzaile bat banako jakin batzuentzako baldintza bat betetzen dela adierazten duen adierazpena da. Logika klasikoan, gehien aztertzen diren zenbatzaileak zenbatzaile unibertsala eta zenbatzaile existentziala dira. Lehenak esaten du baldintza bat betetzen dela hitz egiten ari den banako guztientzako, eta bigarrena, gutxienez, gizabanako batentzat betetzen dela. Adibidez, "x guztientzako" adierazpena zenbatzaile unibertsala da, eta "x <3"-aurretik, hau sortzen du:

x guztietarako, x < 3

Egiaren balioa duen espresioa da, espresio faltsua, hiru baino handiagoak diren zenbaki asko (x asko) baitira. Horren ordez, "gutxienez x batentzako" espresioa jarriz, zenbatzaile existentziala bat, hau lortzen da:

x batentzako gutxienez, x < 3

Badirudienez egiazko da.

Kontuan izan, hala ere, aurreko bi adierazpenen egia balioa zein zenbakitan hitz egiten ari garen araberakoa dela. "x guztientzako, x <3" baieztatzean, soilik zenbaki negatiboei buruz ari garela hitz egiten, adibidez, orduan baieztapena egia da. Eta "gutxienez x batentzako , x <3" baieztatzean 3, 4 eta 5 zenbakiei buruz ari bazara, orduan baieztapena faltsua da. Logikan, zenbatzaile bat erabiltzen denean hitz egiten denari hizkera domeinua deitzen zaio.

Makineria hau hizkuntza naturaleko esaldiak zenbatzaileekin formalizatzeko erraz moldatu daiteke. Har ezazu, adibidez, "denak atseginak dira" esaldia. Esaldi hau honela itzul daiteke:

x guztientzat, x adiskidetsua da.

Eta "norbait gezurretan ari da" bezalako esaldi bat honela itzul daiteke:

Gutxienez x batentzako, x gezurretan ari da.

Ohikoa da azken esaldi hau honela itzultzea:

Existitzen da gutxienez x bat, non x gezurretan ari den.

Jarraian bi esaldiak formalizatuko dira eta, aldi berean, zenbatzaileentzako notazio berezia sartuz:

x guztietarako, x atsegina da. x A(x)
Gutxienez x bat existitzen da, non x gezurra esaten ari den.    x M(x)

Loturazkoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lehen ordenako logikak, logika proposizionaleko loturazkoak ere barneratzen ditu. Loturazkoak predikatuekin, konstanteekin, aldagaiekin eta zenbatzaileekin konbinatuz, posible da honelako esaldiak osatzea:

Esaldia Formalizazioa
Sokrates jakintsua eta zuhurra da. JsZs
Sokrates jakintsua baldin bada, orduan zuhurra ere izango da.     JsZs
Inor ez da jakintsua eta gainera zuhurra. ¬∃x (JxZx)
Jakintsu guztiak zuhurrak dira. x (JxZx)

Argumentuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Demagun hurrengo argumentu klasikoa:

  1. Gizon guztiak hilkorrak dira.
  2. Sokrates gizon bat da.
  3. Beraz, Sokrates hilkorra da.

Lehenengo ordenako logikaren zeregina hau bezalako argudioak zergatik balio duten zehaztea da. Horretarako, lehenengo pausoa hizkuntza zehatzago batera itzultzea da, metodo formalak erabiliz azter daitekeena. Goian ikusi denez, argudio honen formalizazioa honako hau da:

  1. x (GxHx)
  2. Gs
  3. Hs