Lankide:Yaiza Garcia/Proba orria

Esfera (grezieratik: σφαίρα - sphaira, "globoa, baloia") hiru dimentsiotako espazioan puntu jakin batetik distantzia berera dauden espazioko puntu guztiek osatzen duten azalera da. Era berean, zirkulu bat bere ardatzaren inguruan biratzen denean sortzen den gorputz geometrikoa ere bada. Alde guztietatik begiratuta, erabat biribila den gorputza da esfera.

Esfera bat

3D irudia

Esferaren atalak

Esferaren atalak

• Zentroa: puntu guztietatik distantzia berdinera dagoen barne-puntua da.

• Erradioa: zentrotik gainazaleraino dagoen distantzia da.

• Korda: bi puntu lotzen dituen zuzena da.

• Diametroa: zentrutik pasatzen den korda da. Erradioaren neurriaren bikoitza da.

• Biraketa-ardatza: esferako puntu guztiek biratzen duten lerroa da.

• Poloak: biraketa-ardatzaren eta gainazalaren arteko ebaki-puntuak dira.

Esferaren zirkunferentziak

• Paraleloak: biraketa-ardatzarekiko elkarzutak diren zirkunferentziak dira.

• Meridianoak: bi poloetatik pasatzen diren zirkunferentziak dira.
• Ekuatorea: zentrotik pasatzen den paraleloa da.

Esferaren gaineko koordenatuak

Esferaren gainazalean dagoen puntu bat aurkitzeko egokiagoa da koordenatu esferikoak erabiltzea koordenatu kartesiarrak baino ondorengo bi arrazoiengatik. Batetik, azalera esferikoa bi dimentsioko espazioa delako, eta koordenatu kartesiarrak hiru koordenatuetan banatzen direlako. Bestetik, esfera batean lan egitean, angeluen terminoa erabiltzea egokiagoa delako koordenatu ortogonalak erabiltzea baino.

Esferaren koordenatuen adierazpena.

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak kalkulatzeko, ekuatore bat eta horren puntu bat angelu horizontalen abiapuntu bezala aukeratzen dira. Lehenik eta behin, $\varphi$ angeluaren ikurra definitzeko ekuatorearen orientazio bat hautatzen da. Ondoren, $\theta$ angeluaren ikurra definitzeko esferaren bi poloetatik polo bakarra aukeratzen da. Poloak esferaren ekuatoretik urrutien dauden puntuak dira eta esfera batek, hain zuzen, bi polo ditu.

Puntuak angeluen bidez zehaztea

$\theta$ eta $\varphi$ angeluek esferaren puntu guztiak mugatzen dituzte. Plano horizontaleko (ekuatorearen planoa) eta plano bertikaleko angeluei esker esferaren edozein puntu aurki daiteke.

Geometrian eta geografian $\theta$ eta $\varphi$ angeluak modu ezberdinetan neurtzen dira. Normalean arku-luzera kalkulatu ahal izateko, geometrian, angelu horiek radianetan neurtzen dira. Geografian, aldiz, gradu sexagesimalak edo ehundarrak erabiltzen dira angeluak lortzeko. Geografiaren kasuan, puntuak angeluen bidez zehazteko, jatorriak Greenwich-eko meridianoaren ekuatoreko puntuan eta Ipar poloa puntuan hartzen dira; era horretan $\theta$ angelua latitudea dela lortzen da eta $\varphi$ angelua longitudea.

Koordenatu esferikoekin espazioko edozein puntu aurkitu ahal izateko $r$ izeneko hirugarren parametroa sartu behar da $(r,\varphi ,\theta )$ non $r$ esferaren erradioa den.

$(r,\varphi ,\theta )$ koordenatu esferikoen bitartez espazioko edozein puntu aurkitu daiteke. Hori kontuan hartuz$(x,y,z)$ koordenatu kartesiarrak $(r,\varphi ,\theta )$ koordenatu esferikoen bidez adieraz daitezke. Ondorengo eran adierazten dira:

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi \\y=r\sin \theta \sin \varphi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$ non $-{\frac {\pi }{2}}<\varphi \leq {\frac {\pi }{2}}$ eta $0<\theta \leq 2\pi$ diren.

Koordenatu kartesiarretatik abiatuta, koordenatu esferikoak lortzen dira:

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta =\arccos {\frac {z}{r}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\varphi =\arcsin {\frac {y}{r\cos \theta }}=2\arcsin {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}.\end{cases}}$

Ekuazioak hiru dimentsioko espazioan

Esfera baten bi erradio ortogonal

Hiru dimentsioko espazio euklidear bateko koordenatu kartesiarreko sistema batean, esfera unitarioaren (erradioa $r$ duen esfera) ekuazioa ondorengoa da:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.

Ondoren azalduko da nola lortzen den aurreko ekuazioa.

Izan bitez esferaren jatorria $(0,0,0)$ eta esferaren edozein puntua $(x,y,z)$. Lehenengo elementua $O$ baten bidez adieraziko da eta bigarren elementua, aldiz, $M$ baten bidez. Esferaren $M$ puntuan ${\vec {OM}}$ bektore normalak $1$ balioa duela kontsideratuz, aipatutako formula lortzen da.

Aurreko formula orokortzeko demagun esferaren jatorria $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dela. Hortaz,

$(x-x_{o})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$.

Bestalde, $M$ puntuan $(x\prime ,y\prime ,z\prime )$ plano tangentearen ekuazioa aldagai-banaketaren bitartez lortzen da. Esfera unitarioaren kasuan, jatorria $(0,0,0)$ izanik:

$x\cdot x\prime +y\cdot y\prime +z\cdot z\prime =0$.

Aurreko formula orokortzeko demagun esferaren jatorria $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dela. Beraz,

$(x-x_{0})\cdot x\prime +(y-y_{0})\cdot y\prime +(z-z_{0})\cdot z\prime =0$.

Izan bitez $a,b,c,d$ eta $e$ zenbaki errealak, $a\neq 0$ izanik eta

$x_{o}=-{\frac {b}{a}},$ $y_{o}=-{\frac {c}{a}},$ $z_{o}=-{\frac {d}{a}},$ $\rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}$.

Orduan, esfera adierazteko beste era bat ondorengoa da:

$f(x,y,z)=a\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\cdot (b\cdot x+c\cdot y+d\cdot z)+e$.

$\rho$ -k hartzen duen balioaren arabera, zenbait esfera mota ezberdindu daitezke.

· $\rho <0$ bada, $f(x,y,z)=0$-ren soluzioak ez dauka puntu errealik. Beraz, aurreko ekuazioa esfera irudikari baten ekuazioa da.

· $\rho =0$ bada, $f(x,y,z)=0$-ren soluzio bakarra $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ puntua da. Beraz, aurreko ekuazioa esfera puntual baten ekuazioa da.

· $\rho >0$ bada, $f(x,y,z)=0$ ekuazioak, aldiz, $P_{0}$ zentrodun eta ${\sqrt {\rho }}$ erradiodun esferaren ekuazioa adierazten du.

Aurreko ekuazioan $a$-ren balioa $0$ bada, orduan $f(x,y,z)=0$ plano baten ekuazioa da.

Gainera, hiru dimentsioko espazio euklidear batean, esferaren gainazaleko puntuak modu honetan parametrizatu daitezke:

${\begin{cases}x=x_{0}+r\sin \theta \cos \varphi \\y=y_{0}+r\sin \theta \sin \varphi \\z=z_{0}+r\cos \theta \end{cases}}$ non $0\leq \theta \leq \pi$ eta $0\leq \varphi \leq 2\pi$ diren.

non $r$ esferaren erradioa den, $(x_{0},y_{0},z_{0})$ zentroaren koordenatuak diren eta $(\theta ,\varphi )$ ekuazioaren parametro angeluarrak diren.

Bestalde, $(0,0,0)$ puntuan zentratutako edozein erradioko esfera, gainazal integral bat da. Hurrengo eran definitzen da esfera forma diferentzialean:

$x\cdot dx+y\cdot dy+z\cdot dz=0$.

Azkenengo ekuazioak adierazten du esfera baten posizio-bektorea $(x,y,z)$ eta puntuaren abiadura $(dx,dy,dz)$ elkarrekiko ortogonalak direla.

Bolumena

Zilindro zirkunskribatuaren bolumena eta azalera ateratzeko eredua.

Esferaren bolumena

$V={4\pi r^{3} \over 3}$

da, non $r$ esferaren erradioa den.

Esfera baten bolumena esfera horretan zirkunskribatutako zilindroaren bolumenaren ${\frac {2}{3}}$ dela esan daiteke. Kontuan izanda zilindroaren oinarria esferak duen diametro bereko zirkulu bat dela eta altuerak aipatutako diametroaren neurri bera duela, ondorengoa adieraz daiteke:

$V={2 \over 3}\cdot 2\pi r^{3}$.

Adierazitako bolumenen arteko erlazioa Arquimesek frogatu zuen.

Bestalde, posible da esferaren bolumena kalkulatzea $\pi$ erabili gabe, horren errore-marjina $\%0.03$koa izanik.

$V={67 \over 16}\cdot r^{3}$.

Azalera

$r$ erradiodun esfera baten azalera hurrengoa da:

$A=4\pi r^{2}$.

Arquimedesek, $A=4\pi r^{2}$ formula lortu zuen zilindro zirkunskribatuaren alboko gainazalerako proiekzioak eremua mantentzen duela kontuan hartuz. Dena den, azaleraren formula beste era batera lor daiteke: bolumenaren formula $r$-rekiko deribatuz.

Edozein $r$ erradio emanda, bolumen graduala $(\delta V)$ $r$ erradiodun azaleraren $(A(r))$ eta egituraren lodieraren $(\delta r)$ arteko biderkaduraren berdina da.

$\delta V\approx A(r)\cdot \delta r$.

Egituren arteko bolumen guztien gehiketa esferaren bolumenaren totala da.

$V\approx \sum A(r)\cdot \delta r$.

$(\delta r)$-ren limitean $0$-ra hurbiltzen denez,

$V=\int _{0}^{r}A(r)dr$.

Bolumena ordezkatuz,

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr$.

Bi aldeak $r$-rekiko deribatuz gero,

$4\pi r^{2}=A(r)$.

Ondorioz, azalera hurrengoa da:

$A=4\pi r^{2}$,

non $r$ esferaren erradioa den.

Kurbak

Esfera baten sekzio lana: zirkulu bat

Esfera baten eta zilindro baten ebakidura ardazkidea: 2 zirkulu

Zirkuluak

• Esferaren eta planoaren arteko ebaketaren emaitza zirkulu bat, puntu bat edo hutsa ($\emptyset$) izan daiteke.

Zirkulu bat denean, ekuazio parametriko batekin adieraz daiteke.

${\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t)^{T}.$

Aldiz, beste zenbait gorputzek esfera moztean zirkuluak ere sortzen dituzte:

• Biraketa-gainazal baten eta esfera baten arteko ebakidura ez hutsak zirkuluez edota puntuez osatuta daude.

Irudian ikus daitekeenez, zilindroa eta esfera ebakitzen direnean, bi zirkulu sortzen direla. Zilindroak eta esferak erradio bera badute eta haien artean tangenteak badira zirkulu bakarra sortzen da.

Espiral esferikoa $c=8$ denerako

Clelia kurbak

Esfera modu honetan definituta badago,

${\vec {x}}=(r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta )^{T}$

Clelia kurbak lortzen dira angeluek hurrengo ekuazioa betetzen badute:  

• $\varphi =c\cdot \theta ,$ $c>0$.

Kasu bereziak: Viviani´s kurba $(c=1)$ eta espiral esferikoak $(c>2)$.

Zilindro esferikoaren elkargune orokorra

Gorputz orokorren eta esferaren arteko ebaketa

Esfera bat beste gainazal batekin ebakitzean, kurba esferiko konplexuagoak sortu daitezke.

Adibidea: esfera eta zilindroa

Esferaren eta zilindroaren arteko ebaketen emaitzak ekuazioen arteko sistema eginez lortzen dira eta ez dira beti bi zirkulu edo zirkulu bakarra izan behar.

Esferaren ekuazioa:  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$.

Zilindroaren ekuazioa: $(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},$ $y_{0}\neq 0$.

Esfera baten hemisferioak eta esferaerdiak.

Esfera baten ziri-gainazala eta horren azalera kalkulatzeko parametroak.

Esfera baten ziria, kalota eta esfera-zona.

Esferetatik lortzen diren irudi geometrikoak

- Hemisferioa: esferaren zentrotik pasatzen den planoak bi zatitan banatzen du gainazala. Bi zati horiei hemisferio deritze.

- Esferaerdia: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen artean dagoen esferaren zatia da.

- Ziri-gainazal esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko gainazalaren zatia da.

Ziri-gainazal esferikoaren azalera $A={\frac {4\pi r^{2}}{360}}\cdot n$ da non $n$ bi planoen arteko angelua den.

- Ziri esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko esferaren zatia da.

Ziri esferiko baten bolumena $V={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\pi r^{3}}{360}}\cdot n$ da non $n$ bi planoen arteko angelua den.

- Kalota esferikoa: plano ebakitzaile batek zehazten duen esferaren zati bakoitza da.

Kalota esferikoaren azalera: $A=2\pi \cdot R\cdot h$.

Kalota esferikoaren bolumena: $V={\frac {1}{3}}\pi \cdot h^{2}\cdot (3R-h)$.

- Esfera-zona: Bi plano ebakitzaile paraleloen arteko esferaren zatia da.

Esfera-zonaren azalera:$A=2\pi \cdot R\cdot h$.

Esfera-zonaren bolumena: $V={\frac {1}{6}}\pi \cdot h\cdot (h^{2}+3R^{2}+3r^{2})$.

Esferaren 11 propietate

Esfera baten bektore normal bat, plano normal bat eta haren sekzio normala.

Geometry and the Imagination liburuan David Hilbertek eta Stephan Cohn-Vossenek esferaren 11 propietate deskribatzen dituzte, eta eztabaidatzen dute ea 11 propietate horiek esfera modu bakarrean zehazten duten edo ez. 11 propietate horiek ondorengoak dira:

1. Esferaren puntu guztiak puntu finko batekiko distantzia berdinera daude. Gainera, bere puntuetatik bi puntu finkoetara dagoen distantziaren ratioa konstantea da.

2. Esferaren perimetroak eta sekzio lauak zirkuluak dira.

3. Esferaren zabalera eta zirkunferentzia konstanteak dira.

4. Esferaren puntu guztiak unbilikalak dira.

5. Esferak ez dauka zentro gainazalik.

6. Esferaren geodesiko guztiak kurba itxiak dira.

7. Bolumena duten gorputz guztietatik esfera da gainazal txikiena duen gorputza, eta gainazala duten gorputz guztietatik esfera da bolumen handiena duen gorputza.

8. Esfera, gainazal zehatza duten gorputz ganbil guztietatik, batez besteko kurbadura txikiena duen gorputza da.

9. Esferak batez besteko kurbadura konstantea du.

10. Esferak Gaussen kurbadura positiboa eta konstantea du.

11. Esfera bere baitan transformatzen da hiru parametroetako familia zurrun baten higiduraren bidez.

Bibliografia

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81468-1.
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
• Serra, Bernat Requena. (2017-05-06).«Esfera» Universo Formulas.
• Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com.

Kanpo estekak

• Mathematica/Uniform Spherical Distribution .
• Surface area of sphere proof .