Pellen ekuazio

$x^{2}-2y^{2}=1$, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar.

Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: $x^{2}-py^{2}=1$, zeinetan $p$ zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan.

Pellen ekuazioaren: $p$, parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: $(x,y)=(1,0)$, eta $(x,y)=(-1,0)$ beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik $p$ zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan.

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz: $p$ zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.

Irudian $x^{2}-2y^{2}=1$, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira: $(x,y)\in \{(3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2)\}$

Historia

Ekuazio honen ikerketa antzinakoa da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.

Evariste Galois (1811-1832)

Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots: $p$ edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat ( $y\neq 0$ ), (usategiaren printzipioa erabiliz).

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

Oinarrizko ebazpena

$p$ zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: $x^{2}-py^{2}=1$, bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak, $x^{2}-py^{2}=1$ hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, $(x,y)=(a,b)$, adieraziko da, hots: $a^{2}-pb^{2}=1$. Irudian agertu den kasuan: $x^{2}-2y^{2}=1$, ren oinarrizko ebazpena: $(a,b)=(3,2)$.

${\sqrt {p}}=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{n},...]$ Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren $n$. hondarra$R_{n}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{n}]$ adieraziko da.

Zenbaki irrazionala: ${\sqrt {p}}$ , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: $T$, $a_{n}=2a_{0}$ berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela: ${\sqrt {p}}=[a_{0},{\overline {a_{1},a_{3},...,a_{T-1},2a_{0}}}]$ izango da zatiki jarraien bidezko garapena.

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

${\frac {a}{b}}=R_{T-1}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{T-1}]$ , $T$ bikoitia bada.

${\frac {a}{b}}=R_{2T-1}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{2T-1}]$ , $T$ bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: ${\sqrt {p}}=[1,{\overline {2}}]$, ondorioz: $T=1$, bakoitia.

Eta oinarrizko ebazpena: ${\frac {a}{b}}=R_{1}({\sqrt {2}})=[1,2]=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}$

Ebazpen guztiak

Pellen ekuazioaren: $x^{2}-py^{2}=1$, oinarrizko ebapena bada: $(x,y)=(a,b)$.

$(a+b{\sqrt {p}})(a-b{\sqrt {p}})=1$, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz:

$(a+b{\sqrt {p}})^{n}(a-b{\sqrt {p}})^{n}=1^{n}=1$, berdintza betetzen da $n$ edozein zenbaki osorentzat.

$(a+b{\sqrt {p}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {p}}$, moduan adieraz daiteke, eta $(a+b{\sqrt {p}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {p}}$, moduan zeinetan:

$x_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}+(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2}}$

$y_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}-(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2{\sqrt {p}}}}$

Zeinetan: $n\in \mathbb {N}$, hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.

Adibideak

Lehena:

$p=21$, ez da karratua, eta beraz: $x^{2}-21y^{2}=1$, bateragarria.

${\sqrt {21}}=[4,{\overline {1,1,2,1,1,8}}]$, zatiki jarraien bidezko garapena.

$T=6$, bikoitia denez:

Ebazpen minimoa: $a^{2}-21b^{2}=1$.

${\frac {a}{b}}=R_{T-1}=R_{5}=[4,1,1,2,1,1]={\frac {55}{12}}\Rightarrow a=55,b=12$.

Lehen koadranteko ebazpen guztiak: $n\in \mathbb {N}$

$x_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}+(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2}}$

$y_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}-(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2{\sqrt {21}}}}$

Bigarrena:

$p=53$, ez da karratua, beraz: $x^{2}-53y^{2}=1$, bateragarria da.

${\sqrt {53}}=[7,{\overline {3,1,1,3,14}}]$, zatiki jarraien bidezko garapena.

$T=5$, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa: $a^{2}-21b^{2}=1$

${\frac {a}{b}}=R_{2T-1}=R_{9}=[7,3,1,1,3,14,3,1,1,3]={\frac {66249}{9100}}\Rightarrow a=66249,b=9100$

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak: $n\in \mathbb {N}$

$x_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}+(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2}}$$y_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}-(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2{\sqrt {53}}}}$

Ikus, gainera

• Pellen ekuazioaren bateragarritasuna
• Pellen ekuazioaren ebazpen guztiak

Kanpo estekak

• Datuak: Q853067