Piramide (geometria)

Piramidea
Taldea	Prismatoideak
Aurpegi kopurua	n hiruki + n-gono bat
Ertz kopurua	2n
Erpin kopurua	n + 1
Simetria-taldea	Cnv
Schläfli sinboloa	{ } v {n}
Poliedro duala	Autoduala
Propietateak	Ganbila

Piramidea poliedro bat da. Piramidearen oinarria poligono sinple bat da eta poligonoko alde bakoitzak triangelu batenarekin egiten du bat; triangelu guztiak goi-erpin-ean elkartzen direlarik. Triangeluei albo aurpegi deritze eta bi aurpegik bat egiten duten zuzenkiari, berriz, ertz. Ertzen kopuru totala, oinarriaren ertz kopuru bikoitza da. Aitzitik,

$n$ oinarriaren erpin kopurua izanik, poliedroak $n+1$ erpin ditu.

Elementuak

Piramidearen elementuak

• Oinarria: Poligono sinple bat da, haren erpinak, goi-erpinarekin zuzenki batekin elkartzen direlarik.
• Goi-erpina: Oinarriko poligonotik at dagoen erpina da.
• Albo ertza: Oinarriko erpinen bat eta goi-erpina elkartzen dituen ertza da.
• Altuera: Oinarritik goi-erpinera perpendikularki doan zuzenkia da.
• Albo aurpegia: Oinarriko ertz bakoitza goi-erpinarekin lotzen duen azalera triangeluarra da.
• Apotema: Oinarriko ertzak eta goi-erpina perpendikularki lotzen dituen zuzenkia da.

Piramide motak

Piramide zuzena: Goi-erpinaren proiekzio ortogonala, oinarriaren zentroidearekin bat datorren piramidea da.

Piramide zeihar: Zuzena ez den piramidea da. Piramide zeiharraren oinarria poligono erregularra den kasuetan, litekeena da albo aurpegiren bat triangelu isoszelea izatea.

Piramide erregular: Oinarrian poligono erregularra duen piramide zuzena da. Piramide erregularretan, albo aurpegi guztiak berdinak dira, triangelu isoszeleak hain zuzen ere. Piramide hauen altuerari apotema deritzo.

Piramide konbexua: Oinarrian poligono konbexua duen piramidea da.

Piramide ahurra: Oinarrian poligono ahurra duen piramidea da.

Piramide tetraedrikoa: Oinarritzat hirukia duen piramidea da.

Azalera

Poligono erregular baten azalera

Poligono erregular baten azalera ertzen luzera eta ertz kopuruaren menpe kalkula daiteke. n aldeko poligono erregular bat, n triangelu isoszeletan bana daiteke (hexagonoaren kasuan, triangelu isoszeletan); haien oinarriak poligono erregularraren ertzak direlarik. Triangelu bakoitzaren altuera, poligono erregularraren apotema bat da eta triangelu isoszele bakoitza bi triangelu angeluzuzenetan banatzen du, honela poligonoa 2n triangeluz banatzen delarik.

Poligono erregularren azalera (Ao) triangelu zuzenen azaleraren (At) batura da.

$A_{o}=2\ n\cdot A_{t}=2\ n\ {\frac {{\frac {l}{2}}\ a}{2}}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a$

non a poligono erregularraren apotema den. Apotemaren luzera kalkulatzeko trigonometria erabiltzen da:

$\tan(\alpha )={\frac {\frac {l}{2}}{a}}\Rightarrow \tan(\alpha )={\frac {l}{2\cdot a}}\Rightarrow a={\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}$

non α triangelu angeluzuzenaren angelua den, zentruarekin bat egiten duen erpinarena. Apotemaren balioa poligonoaren azaleran ordezkatuz, ondokoa lortzen dugu:

$A_{o}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a={\frac {n}{2}}\ l\cdot {\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot(\alpha )$

α angeluaren balioa, angelu osoa (2π) triangelu angeluzuzenen kopuruarekin (2n) zatituz lortzen dugu: $\alpha =2\pi /2n=\pi /n$ Ondorioz, poligono erregular baten azalera hurrengoa da:

(1) $A_{o}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Piramide erregularraren alboko azalera

Piramidearen alboko azalera, albo aurpegien azaleren baturaren eta albo aurpegien arteko biderkadura da.

(2) $A_{l}=n\cdot {\frac {l\cdot a_{p}}{2}}={\frac {p\cdot a_{p}}{2}}$

non a_p piramidearen apotema eta p oinarriaren perimetroa diren. Piramidearen apotema (a_p), Pitagorasen teorema erabiliz kalkula daiteke, oinarriaren apotema (a_o) eta piramidearen altuera erabiliz (h):

$a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}$

Piramidearen azalera osoa

Piramidearen azalera osoa, oinarriaren azalera eta alboko azaleraren batura da.

(3) $A=A_{o}+A_{l}\,$

Piramide erregularraren kasuan, oinarriaren azalera (1) eta alboko azaleraren ekuazioa (2) , (3) adierazpenean ordezkatuz, ondokoa lortzen da:

$A={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\frac {p\cdot a_{p}}{2}}$

Bolumena

Piramidearen bolumena kalkulu diferentzialaren bitartez lor daiteke. Plano batek piramidea zeharka ebakitzerakoan sortutako sekzioaren azalera piramidearen oinarriaren azalerarekiko (Ao) eta erpinaren eta planoren arteko distantziaren berbidurarekiko zuzenki proportzionala da. Distantzia hau (d) piramidearen altueraren (h) eta plano ebakitzailearen altueraren (z) arteko diferentzia da.

$d=h-z$

Beraz, plano ebakitzeileak piramidearen oinarritik z altuerara sortzen duen sekzioaren azalera ondoko formulak ematen digu:

$A\left(z\right)=A_{o}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A_{o}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}$

Piramidearen bolumena oinarriaren forma eta erpinaren kokapenarekiko independentea da. Bolumena piramidearen oinarriaren azalera eta altuera ezagutuz lortzen dugu, $B=\int _{0}^{h}A\left(z\right)dz=A_{o}\int _{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A_{o}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}_{0}^{h}$

(4) $B={\frac {\ A_{o}\ h}{3}}$

Konoarentzat ere baliozkoa da formula hau. Lehen aipatu bezala, bolumenaren kalkulua oinarriaren formarekiko independentea da. Bolumenak azalerarekiko soilik du dependentzia.

Piramide erregularraren bolumena

Oinarritzat poligono erregular bat duen piramideari poligono erregular deritzo. Honen bolumena poligonoaren oinarria definitzen duen poligono erregularraren aldea eta piramidearen altueraz kalkula daiteke. Oinarriaren azalera Ao (1) piramidearen bolumenaren ekuazioan (4) ordezkatuz, ondokoa lortzen dugu:

$B={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h$

$B={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Poligono erregularrean zirkunskribatutako zirkunferentziaren r erradioa, poligonoaren barruan aldeen arteko ${\ce {\alpha}}$ angelua, h altuera eta alde kopurua ,n, erabilz bolumena honela kalkula dezakegu:

$$B={\frac {n}{6}}hr^{2}\sin 2\alpha$$

Zentroidea, masa zentroa eta grabitate zentroa

Tetraedro erregularraren zentroidea (edo barizentroa) haren altueran dago kokatuta. Albo bakoitzarekiko perpendikularrak diren zuzenak, tetraedroaren altueran ebakitzen diren puntua da zentroidea. Puntu hau tetraedroaren oinarritik distantzia honetara topatzen da:

${\frac {1}{4}}\cdot h$

Zentroidea dentsitate uniformeko tetraedro erregularraren masa zentroaren berdina da. Horrez gain, grabitazio eremu uniformeko eta dentsitate uniformeko tetraedro erregularraren grabitate zentroaren berbera ere bada.

Piramidearen oinarritik abiatuz, haren altuera laurdenera dentsitate eta grabitazio eremu uniformeko piramidearen grabitate zentroa kokatzen da.

Bolumen erdiko piramide homotetikoa

Izan bedi, h altuerako piramide zuzena. Piramide zuzenaren bolumen erdia duen piramide homotetikoak h' altuera izango du; hots,

$h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}$

Frogapena

Koka dezagun oinarriarekiko paraleloa den planoa piramidearen goi-erpinetik h' distantziara. Orduan, bolumen berdineko bi zatitan ebakitzen da piramidea. Bila dezagun homoteziaren arrazoia: piramide homotetikoaren dimentsioak lortzeko piramidearen oinarriaren aldeak eta altuera biderkatzeko erabiltzen dugun koefizientea.

Piramidearen bolumen osoa hau bada:

$$B={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$$

Bolumen erdiko piramidearena berriz:

$$B'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}$$

x homoteziaren arrazoia, proportzionaltasunaren koefizientea izanik.

$$B'={\frac {1}{2}}\cdot B$$

dugunez, ondokoa ondorioztatzen dugu:

$${\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$$

sinplifikatuz,

$$x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h$$

$$x^{3}={\frac {1}{2}}$$

$$x={\sqrt[{3}]{1/2}}$$

Homoteziaren arrazoia 0,79370053 da gutxi gorabehera.

Ikus, gainera

• Piramide-enborra
• Tetraedroa
• Eudoxo Knidokoa
• Bipiramidea (oinarri amankomuna duten bi piramide)

Kanpo estekak

• Datuak: Q3358290
• Multimedia: Pyramids (geometry)